Эквивалентность процентных ставок.

Как было показано выше, для процедур наращения и дисконтирования могут применяться ставки процентов различного типа: простые и сложные процентные и учетные ставки. В связи с тем, что контракты могут быть составлены с использованием различных видов ставок, то для сопоставления их доходности возникает необходимость в установлении правил эквивалентного приведения различных ставок к ставке одного вида. Динамика процессов наращения и дисконтирования определяется только временнóй зависимостью множителя наращения и дисконтного множителя и не зависит от величины первоначальной и конечной сумм. Поэтому замена одного типа ставки на другой не изменит отношения сторон в рамках конкретного контракта, если от такой замены соответствующие множители не изменятся. Такие ставки называют эквивалентными. Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в п. 2.2. при определении эффективной ставки процента. В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары различного вида ставок – простых и сложных, дискретных и непрерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях выводятся из равенства взятых попарно множителей наращения. Например, для определения соотношения эквивалентности между простой и сложной ставками приравняем соответствующие множители наращения:

(1+ ni _s)=(1+ i) ⁿ,

где i _s и i – ставки простых и сложных процентов. Решение равенства дает следующие соотношения эквивалентности:

;

.

Соотношения между численными значениями двух эквивалентных друг другу различных типов ставок зависит от срока контракта: ставки, эквивалентные при одном сроке контракта, неэквивалентны при другом его значении.

Пример 25. Необходимо найти величину простой учетной ставки (К =360), эквивалентной годовой простой процентной ставке 40% (К =365) при условии, что срок учета равен 255 дням.

Решение. Для установления эквивалентности воспользуемся исходными формулами S = P (1+ ni) и P = S (1– nd), из которой следует, что S = P (1– nd).

Приравняем множители наращения, подставив n = t / K (t – срок наращения процентов в днях, K – временная база):

(1+(t /365) i)=1/(1–(t /360) d),

откуда получаем формулу эквивалентного перехода

=0,30835, т.е. 30,835%

Пример 26. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?

Решение. Из равенства е^d = (1+ j / m) ^m следует d = m ln (1+ j / m)= 4·ln (1+0,2/4)=0,19516, т.е. 19,516%.

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить применение непрерывных процентов. Непрерывные проценты во многих сложных расчетах позволяют существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому, используя формулы эквивалентности, нетрудно представить полученные результаты в виде общепринятых характеристик.