Решение систем линейных дифференциальных уравнений 1-го

Порядка методом повышения порядка

Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:

(30)

где х – независимая переменная, y (x) и z (x) – неизвестные функции, f ₁(x) и f ₂(x) – известные функции a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – коэффициенты. Общее решение системы (30) имеет вид:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Для решения системы (30) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z (x), из одного уравнения системы:

, (31)

продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . После получения его решения , следует, используя (31), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.

Если в системе (30) коэффициенты a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

,

решение которого рассмотрено в п.5.

Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.

Примерный вариант и образец выполнения

РГЗ №4

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: и точка . Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: и начальные условия: Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Найти общее решение системы методом повышения порядка.

Решение задачи 1. Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т.е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

Построим все эти кривые в системе координат (рис.1).

Ответы: ; ,

Интегральные кривые изображены на рис.1.

Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли, где . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или

(***)

Найдем функцию решая уравнение

.

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставляя найденную функцию в (***), получим дифференциальное уравнение для функции u: или .

Найдем функцию – общее решение этого уравнения:

, откуда

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Ответ: .

Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие независимой переменной x. Полагаем = p (y), тогда и уравнение примет вид:

Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию

Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:

где . Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С ₁, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):

Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано: .

Определим значение постоянной С ₂, соответствующее начальному условию y (1) = 3:

Отсюда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .

Получим частное решение уравнения, выразив y (x):

Ответ:

Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т.е. , тогда частное решение будем искать в виде .

Составим условиям вариации согласно (24):

Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

затем найдем

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).

Тогда , и общее решение .

Ответ: .

 

Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (29), частное решение будем искать в виде:

где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:

Сократим обе части тождества на и приравняем коэффициенты при cos3 x и при sin3 x в левой и правой частях тождества.

Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:

Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.

Ответ:

Решение задачи 6. Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z (x).

Выразим z (x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:

.

После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

.

Общее решение этого уравнения имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные. Здесь , тогда по таблице 1 определим вид общего решения однородного уравнения:

.

2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (28), частное решение будем искать в виде:

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:

(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :

.

Приравнивая коэффициенты при х ¹ и при х ⁰ в обеих частях тождества, получаем:

откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения : .

Найдем вторую неизвестную функцию:

Ответ:

Варианты РГЗ №4

Каждый вариант РГЗ №4 содержит 6 задач, охватывающих материал по теме «Дифференциальные уравнения».

Перед выполнением РГЗ необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями к выполнению РГЗ №4, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта РГЗ.

Интегрирование всех уравнений следует приводить подробно, указывая метод интегрирования.

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Точка
		M (–2; 4)
		M (0; 3)
		M
		M (0; 1)
		M (1; 2)
		M
		M (0; –1)
		M (0; 1)
		M (2; 1)
		M (–1; 2)

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	Начальные условия

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

 

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

 

 

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

№ варианта	Дифференциальное уравнение	№ варианта	Дифференциальное уравнение

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Найти общее решение системы методом повышения порядка.

 

№ варианта	Система дифференциальных уравнений	№ варианта	Система дифференциальных уравнений

 

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте задачу Коши для дифференциальных уравнений 1-го порядка.

2. Методы решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

3. Сформулируйте определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка.

4. Дайте определение общего и частного решения ДУ 2-го порядка.

5. Сформулируйте задачу Коши ДУ 2-го порядка.

6. Линейные однородные ДУ 2-го порядка. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений.

7. Дифференциальные уравнения 2 порядка: метод вариации постоянных.

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения уравнений с правой частью специального вида.

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Рольф, 2002. – 256 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Высш. шк., 1999.– 416 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.