Анализ решения задачи линейного программирования на основе теории двойственности

6.3.1 Постановка задачи планирования производства продукции

Рассмотрим частный случай задачи линейного программирования – задачу планирования производства продукции.

Для производства продукции n типов требуются ресурсы m видов. Нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции каждого типа заданы матрицей , где – количество ресурса i–го вида, необходимое для производства единицы продукции j-го типа. Известно количество ресурсов () каждого вида, которое имеется в наличии у предприятия. Известны также величины прибыли С_j (), которую получит предприятие при реализации единицы продукции j-го типа. Требуется найти оптимальный план производства продукции, т.е. количество продукции каждого типа, которое нужно произвести, чтобы получить наибольшую прибыль. Условие задачи можно представить в виде таблицы 6.1.

Таблица 6.1. - Исходные данные к задаче планирования производства продукции

Обозначим через x_j – количество продукции j-го типа, которое планируется выпустить (). Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

Целевая функция (6.1) этой задачи представляет собой общую прибыль от производства всей продукции. Ограничения (6.2) выражают условие того, что потребление ресурса i-го вида не должно превышать запаса этого ресурса. Условия неотрицательности переменных (6.3) вытекают из смысла переменной x _j (): количество продукции не может быть отрицательным.

Каноническая форма записи ЗЛП

Канонической называется форма записи ЗЛП, в которой целевая функция стремится к максимуму, все ограничении имеют вид равенства и на все переменные наложено условие неотрицательности.

Чтобы привести к каноническому виду задачу с ограничениями-неравенствами, вводят дополнительные переменные. Причем если неравенство имеет вид “меньше или равно”(), то дополнительную переменную прибавляют к левой части ограничения, а если вид “больше или равно”(), то дополнительную переменную вычитают из его левой части. В целевую функцию дополнительные переменные вводят с коэффициентами, равными 0.

Таким образом, задача (6.1) – (6.3) может быть записана в следующей канонической форме:

(6.4)

Дополнительные переменные y_i () представляют собой остатки ресурсов каждого вида. Если в оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи (6.2) будет выполнено в виде равенства и y_i=0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным. Ресурс, который использован полностью, считается дефицитным.