Сложные проценты. Расчеты по сложным процентам.

Расчеты по сложным процентам используются при долгосрочных финансовых операциях. Они основаны на условии, что начисленные за период проценты присоединяются к первоначальной сумме, а определение суммы процентов за следующий период производится исходя из наращенной к началу этого периода суммы. Таким образом, исходная база начисления в каждом периоде увеличивается на сумму присоединившихся процентов. Процесс наращения происходит здесь с ускорением и описывается геометрической прогрессией. Формулы расчета будущей и текущей стоимости сделок определяются по следующим формулам:

 

(4.) (5)

где (1+i)ⁿ – коэффициент наращения,

- коэффициент дисконтирования.

Пример 3. На основе ранее приведенных данных рассчитаем сумму наращения за 5 лет по сложным процентам:

А)10000* (1+0,12)⁵ = 17620 руб. Коэффициент наращения = 1,7623

Современная стоимость будущей суммы 17620 руб. определяется по формуле дисконтирования:

Б) 17620 * 1/(1+0,12)⁵= 10000 руб. Коэффициент дисконтирования = 0,5675

По условиям размещения средств, проценты могут начисляться чаще, чем 1 раз в год. Для проведения данных расчетов введем дополнительные обозначения:

j – процент начисления внутри года.

m – количество раз начисления процентов.

Введем дополнения в предыдущий пример. Проценты начисляются 4 раза в год по ставке 12% годовых.

Пример 4. Расчет будет выглядеть следующим образом:

j = 12: 4 = 3, тогда 10000*(1+0,03)^4*5 = 18060 руб.

Итак, сравним результаты вычислений:

При расчете по простым процентам прирост составил - 6000руб;

При расчете по сложным процентам с начислением процентов раз в год прирост составил – 7620 руб.;

При начислении процентов четыре раза в год прирост равен 8060 руб.

Очевидно, что чем чаще в году начисляются проценты, тем больше сумма наращения.

Рассматривая расчет наращения, мы не затрагивали вопросы инфляции. Но полностью исключить учет инфляции при определении суммы наращения нельзя.

Учет влияния инфляции.

Для учета влияния инфляции в финансовых вычислениях введем корректировку в формулу (4)

 

(6)

где α – коэффициент инфляции предполагает, что величина инфляции не меняется.

При учете инфляции следует всегда использовать сложные проценты, потому что при расчете инфляции закладывается тот же метод сложных процентов. Из приведенной формулы можно сделать следующий вывод:

Если i>α, то получаем наращение капитала.

Если i<α, то величина капитала (реального) будет уменьшаться – эрозия капитала, т.е.получили меньше чем вложили.

Если i=α, то величина капитала не изменится.

В выше рассмотренные примеры введем корректировку на процент предполагаемой инфляции:

А) i = 12%, α = 10%, тогда 10000* 1,0943 = 10943 руб. Таким образом, прирост с учетом инфляции за 5 лет составит 943 руб.

Б) i = 12% α = 15%, тогда 10000*0,8762 = 8762 руб. Эрозия капитала составит – 1238 руб.

Мы рассмотрели, какими будут реальные результаты сделок при складывающихся темпах инфляции и установленной прибыльности сделки. Однако, перед финансовым менеджером может стоять другая задача – обеспечить при заключении сделки приемлемый для фирмы уровень рентабельности при прогнозируемых темпах инфляции.

В этом случае расчет номинального процента по сделке с учетом инфляции будет проведен следующим образом:

Пример 5. Фирме необходимо получить по сделке доходность (реальную) R = 12%, при прогнозируемом темпе инфляции α = 10%, тогда ищем номинальную ставку i посчитанную по формуле:

0,12 + 0,1 + 0.12*0,1 = 0,232 или 23,2%

То есть фирма будет искать проекты с доходностью не менее 23,2 %