Построение уравнений регрессии

Линейная регрессия

В регрессионном анализе изучается связь и определяется количественная зависимость между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Пусть переменная Yзависит от одной переменной X. При этом предполагается, что переменная X принимает заданные фиксированные значения, а зависимая переменная Yимеет случайный разброс из-за ошибок измерения, влияния неучтенных факторов и т.д. Каждому значению X соответствует некоторый закон распределения вероятностей случайной величины Y. Предположим, что Yв «среднем» линейно зависит от значений переменной X. Это означает, что условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном значении X имеет вид

. (1)

Данная функция называется линейной теоретической функцией регрессии Y на X, а параметры a₀ и a₁ – параметрами линейной регрессии (коэффициенты регрессии). На практике параметры регрессии определяются по результатам наблюдений переменных Y и X, связь, между которыми, можно записать в виде

,

где e - случайная ошибка наблюдений. В регрессионном анализе полагают, что случайные ошибки наблюдений имеют нормальный закон распределения, то есть

.

Также считают, что отсутствует автокорреляция между ошибками, т.е. последовательные значения ошибок в каждом опыте e_i не зависят друг от друга

Точность аппроксимации с помощью прямой (y = m^x + b), вычисленной по функции ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точной является модель (уравнение), полученная по функции. Функция ЛИНЕЙН использует метод наименьших квад­ратов для определения наилучшей аппроксимации данных. Когда имеется только одна неза­висимая переменная x, то m и b вычисляются по следующим формулам:

Формат функции: ЛИНЕЙН( известные_значения_y;известные_значения_x;конст;статистика)

Конст - это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы кон­станта b была равна 0. Если конст. имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обыч­ным образом. Если конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения m подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y = mx.

Статистика - это логическое значение, которое указывает, требуется ли рассчитать дополнительную статистику по регрессии. Если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН расчитывает дополнительную регрессионную статистику, так что возвращаемый массив бу­дет иметь вид: {mn;mn-1;...;m1;b:sen; sen- b*...; se1; seb:r2;sey:F; df:ssreg;ssresid}. Если статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущена, то функция ЛИНЕЙН расчитывает только коэффициенты m и постоянную b.

На рис1. показано определение уравнения регрессии по двум переменным Xi и Yi.

Рис.1

Для расчета и вывода значений m и bзависимостей выделяются 2 ячейки, вызывают функцию, вводят исходные данные X и Y, указывают КОНСТ- истина и СТАТИС – истина, нажимают Ctrl + Shift +Enter, и с полученными коэффициентами m и b записывают уравнение.

На рисунке 2 показан расчет линейной регрессии при задании одной (определяемой) пере­менной Yi. Независимые переменные Хi при этом берутся в виде натурального ряда чисел.

Рис. 2.