Теория малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина. Гипотезы. Определяющие соотношения. Функция пластичности Ильюшина.

 

Гипотезы:

1. в результате пластической деформации изменения объема не происходит

,

а также предполагается что материал несжимаемый

1. между интенсивностями напряжений и деформаций существует функциональная связь, которая записывается определенным образом

1. компоненты тензора напряжений пропорциональны компонентам тензора деформаций (определяющие соотношения – тензорно-линейные)

;

при чистом сдвиге

;

Гипотезы теории малых упругопластических деформаций были подтверждены экспериментально для металлов при простых нагружениях.

 

Функция пластичности Ильюшина.

- функция пластичности Ильюшина   Если задать функцию, модуль сдвига, предел текучести, мы однозначно определим диаграмму деформирования.

 

Понятие простого и сложного нагружения. Теорема о простом нагружении.

Простой процесс нагружения – это процесс при котором все компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально одному параметру.

- параметр процесса, - заданные тензоры.

Простому процессу нагружения в пространстве напряжений соответствует траектория в виде прямой линии.

При сложном нагружении направления главных осей и взаимоотношения главных напряжений могут изменяться.

Теорема о простом нагружении.

Для того чтобы во всех точках несжимаемого тела нагруженного внешними силами, изменяющимися пропорционально одному параметру, нагружение было простым, достаточно, чтобы интенсивности напряжений от интенсивности деформаций была степенной функцией.

- непрерывно возрастающий параметр процесса

 

Теоремы теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина.

1. Теорема единственности.

При заданных объемных и поверхностных силах, а также перемещениях на части поверхности, НДС тела определяется единственным образом.

Постановка задачи при упругом нагружении:

1. Теорема о разгрузке.

Перемещения точек (деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разности между их значениями в момент начала разгрузки и перемещениями (деформациями и напряжениями), которые возникли бы в нагруженном теле под действием внешних сил равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При этом как нагружение, так и разгрузка должны быть простыми.

Чтобы найти остаточные напряжения, деформации и перемещения необходимо решить упругопластическую и упругую задачи, а затем из одной вы честь другую. Если разгрузка полная, то упругая задача решается при таких же нагрузках, что и упругопластическая

 

 

Итерационные методы решения задач теории пластичности. Метод переменных параметров упругости. Метод дополнительных напряжений. Метод дополнительных деформаций.

Постановка задачи.

- определяющие соотношения при активном нагружении.

- разгрузка

- уравнения равновесия

- граничные условия

Задача физически нелинейная и решается приближенно с помощью итерационных методов.