Системы линейных уравнений со многими неизвестными

Основные понятия

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

где а_ij – коэффициенты; х_j – неизвестные. Первый индекс i – означает номер строки, второй j – номер столбца. В случае, когда система не высокого порядка, можно коэффициенты и неизвестные обозначать разными буквами.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

,

где а₁, а₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c_{1 ,} c₂, c₃, d₁, d₂, d₃ – коэффициенты;

х, у, z – неизвестные.

Определение Тройка чисел (х₀ , у₀ , z₀ ) называется решением системы, если при подстановке этих чисел в уравнение системы вместо х, у, z получаются верные числовые равенства.

Существует несколько способов решения систем линейных уравнений.

 

Метод Крамера

Метод Крамера состоит в следующем: составляется n + 1 определитель:

Δ – определитель системы (составляется из коэффициентов системы в том порядке, как они записаны в системе;

Δ _хi – определители каждого неизвестного (составляются из определителя системы Δ путем последовательной замены столбца коэффициентов того неизвестного, определитель которого записывается, столбцом свободных коэффициентов;

Решение системы находится по формулам Крамера:

х₁ = ; х₂ = ; …; х_n = .

Если Δ = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые могут быть найдены методом исключения.

Например, решить систему методом Крамера:

.

Решение. Составим и найдем определитель системы:

Δ = = - 27

Составим и найдем определитель Δ х (заменим столбец коэффициентов при неизвестном х столбцом свободных коэффициентов):

Δ х = = - 81

Вернем первый столбец на место и составим и найдем определитель Δ у (заменим столбец коэффициентов при неизвестном у столбцом свободных коэффициентов):

Δу = = - 108

Вернем второй столбец на место и составим и найдем определитель Δ z (заменим столбец коэффициентов при неизвестном z столбцом свободных коэффициентов):

Δ z = = - 135.

Подставив найденные значения определителей в формулы Крамера, получим:

х = ; у = ; z = .

Ответ: (3; 4; 5).

 

Практическая работа 5

"Действия с матрицами. Вычисления определителей".

Цель: Формировать умения по решению основных типов задач

Задание 1

Найти сумму матриц:

а) ,

Отв. а) .

Задание 2

Дано: А = , λ = - 3. Найти λА.

Отв.

Задание 3 Найти произведение матриц:

а) , b) ,

 

c)

Отв. а) , b) , с) .

Задание 4. Вычислить определители:

1) 2) 3)

Ответы: 1) 29; 2) 18; 3) – 4

4) . 5)

Ответы: 4) – 18; 5) – 92.

 

Задание 5 Решить систему

Δ = 33; Δ х = 33; Δу=33; Δ z= 33.

Ответ: (1; 1; 1).

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Дать определение матрицы. Виды матриц.

2) Какие операции над матрицами можно осуществлять? В чем состоит их суть?

3) Все ли свойства действий над матрицами подобны свойствам действий над числами? Какие из свойств и при каких действиях не подобны, а какие подобны?

4) Дать определение определителя n – го порядка;

5) В чем заключается правило вычисления определителя.

6) Дать определение системы n – го порядка. Что означают индексы при коэффициентах?

7) В чем состоит суть метода Крамера?

8) Как проверить правильность решения?

ЛИТЕРАТУРА

1) Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сб. задач по математике. М.: «Высшая школа», 1987.

2) Богомолов Н. В. Математика. Учебное пособие для ссузов. ДРОФА. М. 2003.

3) Богомолов Н. В. Сборник задач по математике. Учебное пособие для ссузов. ДРОФА. М. 2003.

4) Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. М., «Наука».

5) Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. М., Наука. 1980.

6) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.

7) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1979.

8) Колягин Ю. М., Луканкин А. Т., Яковлев Г. Н. Математика. Алгебра и элементарные функции. М., «АГАР», 1999.

9) Кутепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. М., «Высшая школа», 1974.

10) Мордкович А.Г. Алгебра и начало анализа. – М., Высшая школа, 1987.

11) Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г.Н. Яковлева. – М., Наука, 1982.

12) Щипачев В.С. «Основы высшей математики». - М.,«Высшая школа», 1984.