Матрица линейного оператора.

 

Рассмотрим линейный оператор A из пространства , где – линейные векторные пространства размерности n и m над общим полем P.

Фиксируем какой-нибудь базис, в пространстве и базис

В силу линейности оператора A:

, поэтому A полностью определяется своим действием над базисными векторами .

Разложим образы базисных векторов по базису пространства образа, т.е. базисные векторы пространства по базису

где j=1, (от 1 до n)

⇒ равенство в матричной форме:

Матрица возникшая справа, называется матрицей линейного оператора А в паре базисов и

Матрица, составленная из координатных столбцов векторов ,называется матрицей линейного оператора.

Пример: Пусть A: L → – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени < или =2.

Рассмотрим 2 базиса:

,
,

Очевидно: A(1+t) = 1

A(t-1) = -1

A( =2t

Поэтому в паре базисов и матрица линейного оператора имеет вид:

Какой будет матрица того же оператора, если L’=L и выбрать базис

Теорема. Пусть - линейный оператор. Тогда столбец y координат вектора в данном базисе линейного пространства L равен произведению матрицы Аэтого оператора на столбец x координат вектора x в том же базисе.

Переход к другим базисам.

Пусть - матрица оператора A. Найдем матрицу , того же оператора к другой паре базисов. Рассмотрим равенства:

Согласно определению матрицы и находим:

Найдем матрицы перехода:

⇒x=Sz

y=Tu (2)

⇒

⇒

(

⇒

Напомним определение эквивалентных матриц (A и B называются эквивалентными, если B=P*A*Q, для P и Q – какие-то невырожденные матрицы.

Утверждение: - матрицы эквиваленты в том, и только в том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких то парах базиса.

Для того, чтобы матрицы одинаковых размеров были матрицами одного и того же линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.

Обратный оператор.

Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.

Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.

Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA ={0}

Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA

Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.

Если не вырожденный линейный оператор А пространства L в некотором базисе задается матрицей А (так же не вырождена), то обратный оператор задается в этом же базисе матрицей .