Комбинации случайных независимых событий

1. Определение вероятности того, что из двух независимых и несовместимых событий А и В произойдет хотя бы одно А или В, то есть вероятности суммы независимых и несовмести­мых событий Р(А + В). Для простоты здесь и в дальнейшем используется классическое определение вероятности. Если из общего числа возможных случаев N и М₁ случаях происходит событие А, а в других М₂ случаях происходит событие В, то

(1)

(2)

причем случаи, входящие в число М₁, не входят в М₂ и, на­оборот, так как события несовместимы. Вероятность того, что произойдет одно из событий А и В, очевидно, равна

(3)

Эта формула распространяется на сумму произвольного чис­ла несовместимых событий

(4)

2. Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

(5)

Так как одно из событий или обязательно произойдет, то сумма их есть достоверное событие, вероятность чего рав­на 1. Как следствие:

(6)

3. Вероятность полной группы несовместимых событий рав­на 1, так как одно из них обязательно произойдет.

4. Определим вероятность суммы двух независимых совмес­тимых событий А и В. Пусть из общего числа N случаев в М₁ случаях имеет место только событие А, в М₂ слу-

 

 

чаях имеет место только событие В, а в М₃ случаях имеет место как со­бытие А, так и событие В одновременно.

Тогда

Очевидно, общее число случаев, когда имеет место событие А или В (хотя бы одно из них), составляет

то есть вероятность суммы двух совместимых событий составляет

(7)

Следовательно, вероятность суммы событий А и В равна сум­ме вероятностей этих событий минус вероятность их одновре­менного возникновения. Так как и

то и

5. Определим вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместимых событий А и В, то есть Р (АВ). Пусть событие А может иметь место в М₁ случаях из общего числа N₁ случаев возникновения или невозникновения собы­тия А, а событие В в М₂ случаев из общего числа N₂. Тогда

Для любого случая из указанного числа N₁ может иметь мес­то N₂ различных случаев возникновения или невозникновения события В. Всего число возможных случаев составляет

Для каждого случая возникновения события А, а число таких случаев М₁, может иметь место М₂ случаев одновременного возникновения события В. Всего число случаев одновременно­го возникновения А и В будет М₁М₂. Поэтому вероятность одновременного возникновения событий А и В равна

(8)

При несовместимости событии А и В

Поэтому вероятность возникновения хотя бы одного из независимых совместимых событий А и В составляет

(9)

Основные законы вероятностей комбинации

Зависимых случайных событий

Условной вероятностью события А по отношению к собы­тию В называется вероятность события А при условии, что со­бытие В имеет место. Она обозначается Р(А/В). Если событие А и В взаимозависимые, то Р(А/В) отличаются от Р(А). Если же Р(А/В)=Р(А), то события А и В независимы.

1. Определим, чему равна условная вероятность Р(А/В). Используем для простоты классическое определение вероят­ности. Пусть из общего числа случаев N событие А наступает в М случаях, событие В в К случаях и событие АВ (одновре­менное наступление событий А и В) в R случаях.

Очевидно, что R £ М и R £ К.

Событие В имеет место только в К случаях и при этом только в R из К случаев имеет место событие А. Поэтому ус­ловная вероятность события A по отношению к В равна

(10)

2. Вероятность одновременного наступления двух зависи­мых событий равна в силу указанного в п. 1.

(11)

Если событие А и В независимы, то

(12)

3. Для трех взаимосвязанных событий вероятность одно­временного их возникновения равна

(13)

4. Если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А; в первом случае

Заменяя в силу заданного условия на , по­лучим

то есть

то есть, событие В не зависит от А.

5, Вероятность сложного события А, подразделяемо­го на частные случаи В₁, В₂ и В₃, при зависимости А от В₁, В₂ и В₃ равна

(14)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Тема 4

Категории электроприемников и обеспечение