Основные правила комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания

Основные правила комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них

Перестановки. Пусть имеется n различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно перестановки, формулы комбинаторики. Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n ( 0!=1,1!=1)

Размещения. размещения, формулы комбинаторики.Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно

Сочетания. Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно

Случайные события. Операции над случайными событиями.

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Достоверным называется событие, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Два события называются совместными, если появление одного не исключает появления другого. События A,A1,Am,называются взаимоисключающимися, если любые 2 из них несовместны.

События A_k (k =1, 2,..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Два события называются Противоположным,если при наступлении одного, второе произойти не может. Два события наз-ся равновозможными, если нельзя считать, что одно из них более возможно, чем другое.

Операции над событиями.

Суммой (объединением) двух событий A и B (A;B),называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением двух событий A и B (A × B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Разностью событий А и В называется со-бытие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Свойства.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

 

 

Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Доказательство.

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем . Откуда

(2.7)

Аналогично для события Откуда

.(2.8)

Подставив (2.7) и (2.8) в (2.6), находим

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB)

 

6. Теорема сложения для несовместных событий:

вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

 

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

 

 

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

.

Так как - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

,

откуда

 

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события . В этих случаях вычисляют и находят

 

Доказательство

Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний, событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из по :

.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны , количество "удачных" комбинаций равно , поэтому окончательно получаем:

.

Формула Пуассон

Локальная теорема Лапласа

.

Правило трёх сигм.

и рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

 

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Линейная корреляция.

Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и У называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(y) и g(x) являются линейными.

Рассчитывается по формуле

где , — среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы

Доказательство

Разделив обе части двойного неравенства на получим

Линейный коэффициент корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости: где — коэффициент регрессии, — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака^.

 

 

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральнойсовокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.

 

Вариационный ряд

Интервальное оценивание. Основные понятия

 

Основные правила комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них

Перестановки. Пусть имеется n различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно перестановки, формулы комбинаторики. Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n ( 0!=1,1!=1)

Размещения. размещения, формулы комбинаторики.Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно

Сочетания. Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно