Многомерное распределение и его характеристики

 

Часто результат испытания характеризуется не одной случайной величи-

ной, а некоторой системой случайных величин

X 1,

X 2, …,

Xp, которую

также называют многомерной (p-мерной) случайной величиной или случай-

ным вектором

X = (X 1, X 2,..., Xp). При этом каждая случайная величина Xi

(i =1,..., p) называется компонентой случайного вектора X.

Определение 7.1. Если все компоненты случайного вектора Xявля-

ются дискретными (непрерывными) случайными величинами, то случайный вектор называется дискретным (непрерывным) соответственно.

Определение 7.2. Функцией распределения p-мерной случайной вели-

чины

X = (X 1, X 2,..., Xp)

называется функция

F (x 1,

x 2,...,

xp), которая для

каждого упорядоченного набора

(x 1,

x 2,...,

xp)

действительных чисел равна

вероятности совместного выполнения k событий:

X p < x p, т.е.

X 1 < x 1,

X 2 < x 2, …,

 

F (x 1,

 

x 2,...,

x p) =P (X 1 < x 1,

X 2 < x 2, …,

Xp < xp).

 

Рассмотрим две дискретные случайные величины X и Y, или, что то же

самое, двумерную дискретную случайную величину

(X, Y), исчерпывающим

описанием которой является закон её распределения – таблица, в каждой

 

 

клетке

(i, j)

которой располагаются вероятности произведения событий

 

pij

= P ((X

= xi)(Y = y j)):

 

Y X	y 1	K	ym	m ∑ pij j =1
x 1	p 11	K	p 1 m	p 1•
M	M	O	M	M
xn	pn 1	K	pnm	pn •
n ∑ pij i =1	p •1	K	p • m

Определение 7.3. Плотностью вероятности (плотностью распре-

деления, совместной плотностью) двумерной непрерывной случайной вели-

чины

(X, Y)

называется вторая смешанная частная производная её функции

распределения:

p (x, y) = ∂

 

 

F (x, y).

∂ x ∂ y

 

Определение 7.4. Условным распределением случайной величины X называется её распределение, полученное при условии, что величина Y при- няла определённое значение или попала в некоторый интервал.

j

Вероятности этого распределения для дискретных случайных величин находятся по формуле:

PY = y

(X = xi) =

P ((X

= xi)(Y = y j))

,

P (Y = yj)

а плотность вероятности для непрерывных величин – по формуле:

py (x) =

p (x, y).

p (y)

 

Замечание. Аналогично определяется условное распределение случай-

ной величины Y.

Определение 7.5. Случайные величины X и Yназываются незави-

симыми, если функция распределения

F (x, y)

случайной величины

(X, Y)

представима в виде произведения двух функций:

F (x, y) = F 1 (x) ⋅ F 2 (y).

Замечание. Если случайные величины X и Y независимы, то условные

вероятности (плотности вероятности) каждой из них совпадают с соответст-

вующими безусловными вероятностями (плотностями вероятности).

Характеристиками степени зависимости случайных величин X и Y яв-

ляются ковариация и коэффициент корреляции.

 

 

Определение 7.6. Ковариацией

K (X, Y)

двух случайных величин Xи

Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

K (X, Y) = M ((X

− M (X)(Y − M (Y)).

Замечание. На практике

K (X, Y)

удобно находить по формуле:

K (X, Y) = M (X ⋅ Y) − M (X) ⋅ M (Y).

Определение 7.7. Коэффициент корреляции двух случайных вели-

чин – это отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

ρ(X, Y) =

K (X, Y).

σ (X) ⋅ σ (Y)

Замечание. Коэффициент корреляции ρ принимает значения из

отрезка

[−1; 1], причём при линейной функциональной зависимости между

величинами

ρ= ±1.

 

Определение 7.8. Случайные величины Xи Yназываются некорре-

лированными, если

ρ(x, y) = 0

(или, что то же самое,

K (X, Y) = 0).

 

Теорема 7.1. Если случайные величины независимы, то они некоррели-

рованы.

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: некоррелированные случайные величины могут быть зависимы. Однако если обе случайные величины имеют нормальное распределение, то из некоррелированности этих величин следует их независимость.

Для p -мерной случайной величины дующие числовые характеристики.

X = (X 1, X 2,..., Xp)

вводятся сле-

Определение 7.9. Математическим ожиданием p -мерной случай-

ной величины называется p -мерный вектор, координатами которого явля-

ются математические ожидания соответствующих её компонент:

M (X) = (M (X 1), M (X 2),..., M (Xp)).

Аналогом дисперсии служит ковариационная матрица и её определитель,

называемый обобщённой дисперсией p -мерной случайной величины.

 

Определение 7.10. Ковариационной матрицей p -мерной случайной величины называется квадратная матрица порядка p, составленная из ко-

вариаций всевозможных пар компонент этой величины:

⎛ s 2

 

...

s 2 ⎞

⎜ 11

1 p ⎟

ij

i

S = ⎜ M O

⎜ 2

M ⎟, где

2 ⎟

s 2 = K (X, X

j).

⎝ s p 1

...

s pp ⎠