Вычисление удельного сопротивления кремния по значению концентрации примеси.

Вычислить удельное сопротивление кремния при комнатной температуре можно, используя выражения, моделирующие зависимость , приведенную в работах [12, 21, 31] - кривые Ирвина (приложение А,В).

Кривые Ирвина – это найденные путем обработки многочисленных экспериментальных данных графически представленные зависимости . Будучи экспериментальными, они отражают все особенности связи ρ и N, что отсутствует при использовании уравнения ρ = (q·N·μ)^-1 с применением эмпирических представлений подвижностей согласно выражениям (36) и (37). Удобство использования кривых Ирвина состоит в простоте определения в численной форме значений удельного сопротивления полупроводника для заданного значения концентрации примеси того или иного вида. Кроме того, они легко позволяют решать и обратную задачу: находить значения концентрации примеси по заданному значению удельного сопротивления. Обе эти процедуры (их совокупность, последовательная реализация в одном и другом направлениях) часто являются необходимыми при решении задач микроэлектроники.

Недостаток представления зависимостей в графическом виде – наличие некоторой неопределенности в найденном численном значении искомой величины, которая определяется использованием двойного логарифмического масштаба при отображении этой зависимости.

Поскольку кривые Ирвина для кремния не поддаются описанию при помощи одной функции, ниже предложена их кусочная аппроксимация.

Вычислить удельное сопротивление кремния по заданному значению концентрации примеси можно, используя нижеприведенные зависимости.

Для кремния n-типа:

1 -

- для диапазона концентраций 1×10¹² - 1×10¹⁷ см^-3,

2 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁷ - 1×10²¹ см^-3.

Совокупность приведенных выражений достаточно точно представляет ирвиновскую зависимость для n – Si на всем ее протяжении, но сами выражения не являются простыми.

Более простые и удобные для практического использования выражения для аппроксимации зависимости для n – Si выглядят следующим образом:

3 -

- для диапазона концентраций 1×10¹² - 1×10¹⁷ см^-3,

Выражение 3 хорошо воспроизводит участок кривой Ирвина в диапазоне концентраций 1,5×10¹⁴ - 1×10¹⁷ см^-3, но при концентрациях меньших, чем 1,5×10¹⁴, появляется некоторое расхождение между значениями удельного сопротивления, полученными с ее помощью и значениями ρ, полученными из выражения 1. Тем не менее, для неответственных вычислений выражением 3 можно пользоваться в пределах всего указанного выше диапазона N.

4 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁷ - 1×10¹⁹ см^-3,

5 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁹ - 1×10²¹ см^-3,

Для кремния p-типа:

1-

- для диапазона концентраций 1×10¹² - 1×10¹⁷ см^-3,

2-

- для диапазона концентраций 1×10¹⁷ - 1×10²¹ см^-3.

Более простые выражения для аппроксимации зависимости для p – Si выглядят следующим образом:

3 -

- для диапазона концентраций 1×10¹² - 1×10¹⁵ см^-3,

4 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁵ - 1×10¹⁷ см^-3,

5 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁷ - 1×10¹⁹ см^-3,

6 -

- для диапазона концентраций 1×10¹⁹ - 1×10²¹ см^-3.