Задачи нелинейного программирования.

Для задач 1–40:

1) составить математическую модель задачи применительно к числовым данным выполняемого варианта;

2) решить полученную задачу с помощью MathCAD как задачу нелинейного программирования;

3) графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в соответствии с условиями задачи.

Формулировка задачи. Предприятие выпускает изделия А и В, при изготовлении которых используется сырьё S ₁ и S ₂. Известны запасы b_i (i =1,2) сырья, нормы a_ij (j =1,2) его расхода на единицу изделия, плановая себестоимость и оптовые цены р_j. Как только объём выпускаемой продукции перестаёт соответствовать оптимальным размерам предприятия, дальнейшее увеличение выпуска х_j ведёт к повышению себестоимости продукции, и в первом приближении фактическая себестоимость с_j описывается функцией с_j = + с ¢ х_j, где с ¢ – некоторая постоянная величина. При поиске плана выпуска изделий, обеспечивающего предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объёмом выпуска и оптимальными размерами предприятия, целевая функция принимает вид

z =(р ₁-( + с ¢ х ₁)) х ₁+(р ₂-( + с ¢ х ₂)) х ₂,

а ограничения по сырью

a ₁₁ х ₁+ a ₁₂ х ₂≤ b ₁,

a ₂₁ х ₁+ a ₂₂ х ₂≤ b ₂,

х ₁≥0, х ₂≥0

(нормы расхода сырья a_ij от х_j не зависят).

Все необходимые числовые данные указаны в таблице.

Номер задачи	b 1	b 2	a 11	a 12	a 21	a 22	р 1	р 2			с ¢
											0,2
											0,1
											0,1
											0,2
											0,2
											0,1
											0,2
											0,2
											0,3
											0,3
							8,6	5,4		4,6	0,2
	22,5			1,5					2,25	3,25	0,125
											0,2
				8,5						4,5	0,25
									7,4	7,2	0,4
	7,5			0,5		8,5	12,75				0,125
									4,8	5,4	0,2
		82,5	1,6	0,8	5,5	7,5		22,5			0,25
									6,4	11,2	0,4
	37,5			2,5		9,5	15,5	21,75	12,75	18,5	0,125
									3,6	2,8	0,2
	22,5			1,5	6,5			18,5			0,25
									2,6	2,4	0,4
			1,5				6,25	6,25			0,125
								18,6		16,2	0,2
			2,5								0,25
									2,4		0,4
			3,5					2,25		0,5	0,125
							15,6	23,8		22,2	0,2
			4,5								0,25
Номер задачи	b 1	b 2	a 11	a 12	a 21	a 22	р 1	р 2			с ¢
							6,46	9,6	5,6		0,2
		22,5				1,5			4,25	3,25	0,125
			0,5		5,5						0,1
					0,5						0,2
			0,5								0,2
											0,1
									3,8	4,4	0,2
	82,5		5,5	7,5	1,6	0,8				4,5	0,25
									2,4	7,2	0,4
		37,5		9,5		2,5		10,25	7,25		0,125

В задачах 41–50:

дана линейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

При этом в №№41–45 принять математическую модель задачи вида

L=c ₁ х ₁+ c ₂ х ₂,

≤ b ₁,

х ₁≥0, х ₂≥0;

в №№46–50 – вида

L=c ₁ х ₁+ c ₂ х ₂,

х ₁ х ₂≤ b ₁,

х ₁≤ b ₂,

х ₂≤ b ₃,

х ₁≥0, х ₂≥0.

Значения коэффициентов целевых функций и систем ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
c 1			-1		-3			-2		-1
c 2			-2		-1			-1		-2
b 1
b 2	–	–	–	–	–
b 3	–	–	–	–	–

В задачах 51–60:

дана нелинейная целевая функция и линейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

Математическая модель задачи:

L= (х ₁+ а)²+(х ₂+ b)²,

а ₁₁ х ₁+ а ₁₂ х ₂≤ b ₁,

а ₂₁ х ₁+ а ₂₂ х ₂≤ b ₂,

х ₁≥0, х ₂≥0.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
а	-5	-6	-1	-2	-3	-1	-3	-2	-2
b	-4	-2	-1	-1	-4	-1	-1	-6	-2	-1
а 11
а 12	-4		-4
b 1	-20		-20
а 21
а 22									-2	-2
b 2									-6	-6

В задачах 61–70:

дана нелинейная целевая функция и нелинейная система ограничений. Найти глобальные экстремумы функции.

При этом в №№61–65 принять математическую модель задачи вида

L= (х ₁+ а)²+(х ₂+ b)²

х ₁ х ₂≤ b ₁,

х ₁≤ b ₂,

х ₂≤ b ₃,

х ₁≥0, х ₂≥0;

в №№66–70 – вида

L= (х ₁+ а)²+(х ₂+ b)²

≤ b ₁,

х ₁≤ b ₂,

х ₂≤ b ₃,

х ₁≥0, х ₂≥0.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений приведены в таблице.

Значения	№ задачи
а		-2		-1		-1	-1			-2
b	-1		-2	-1		-2		-1	-2
b 1
b 2						3,5	4,5	5,5	6,5	2,8
b 3						3,5	4,5	5,5	6,5	2,8