Вычисление приближенных значений.

Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешностей.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 3.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение погрешности приближения;

- вычисление абсолютной и относительной погрешности приближения;

- нахождение границ погрешностей приближений;

- нахождение суммы, разности приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- нахождение произведения, частного приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- выполнение арифметический действий над приближенными значениями без учета границ погрешностей.

 

Краткая теоретическая справка

Если результат измерения или вычисления величины x с некоторой точностью равен , то называют приближенным значением (приближением) величины x.

Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения .

Модуль разности между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью приближения .

В случаях, когда неизвестно точное значение величины и из-за этого нельзя найти абсолютную погрешность приближения, указывают положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. Это число называют границей абсолютной погрешности.

Если , то есть граница абсолютной погрешности.

Тогда , т.е. истинное значение величины x заключается в пределах .

Для характеристики качества измерения используют понятие относительной погрешности. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.

Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.

, где - граница относительной погрешности.

Если - граница абсолютной погрешности, то граница относительной погрешности равна

.

Если с точностью до , с точностью до , то с точностью до и с точностью до .

Если с относительной точностью до , с относительной точностью до , то с относительной точностью до и с относительной точностью до .

Если с относительной точностью до , то относительная точность приближенного равенства есть .

Граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

 

Практические задания для аудиторной работы

1. Найти погрешность, абсолютную и относительную погрешность приближенного значения величины .

2. Определить точность приближенного равенства .

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. Определить относительную точность приближенного равенства .

а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр , если , , .

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.

6. Вычислить периметр четырехугольника , если , , , .

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти разность , если с точностью до 1%, с точностью до 2%.

5. Вычислить , если и с точностью до 1%.

6. Найти произведение чисел и .

 

Вариант 2

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр прямоугольника , если , .

5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.

6. Вычислить периметр , если , , .

 

Вариант 3

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти разность , если с точностью до 0,1%, с точностью до 1%.

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.

6. Найти произведение чисел и .

 

Вариант 4

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр прямоугольника , если , .

5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.

6. Вычислить периметр , если , , .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют погрешностью приближения?

2. Что такое абсолютная погрешность приближения?

3. Какую погрешность называют относительной?

4. Что называют границами абсолютной и относительной погрешностей?

5. Какая существует связь между абсолютной и относительной погрешностями?

6. Чему равна погрешность суммы и разности приближенных значений?

7. Как вычислить погрешность произведения и частного приближенных значений?

8. Что такое верные и строго верные числа в записи приближенных значений?

9. Какие цифры в записи приближенного значения называют значащими?

10. Какими правилами пользуются при вычислениях без учета границ погрешностей?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

 

Практическая работа № 4

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями

Цель:научиться применять свойства степени для преобразования степенных выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 4.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения выражения с применением свойств степени;

- решение уравнений;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени.

Краткая теоретическая справка

Степенью числа a с натуральнымпоказателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

.

Если , (), то .

Если , то .

Свойства степени

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2. Решите уравнение.

3. Упростить выражение.

 

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Для самостоятельной работы

 

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) ; в) .

 

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Выражение какого вида называют степенью?

2. Что понимают под , где n – натуральное число?

3. Что понимают под , где и n – натуральное число?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 5

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических

выражений, содержащих корни n-ой степени ()

Цель:научиться выполнять преобразования и находить значения выражений, содержащих корни n -й степени.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 5.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление значения корня n-й степени;

- извлечение корня из произведения и частного;

- извлечение корня из корня;

- возведение корня в степень.

Краткая теоретическая справка

Корнем n-й степени из числа называется такое число, n-я степень которого равна .

Обозначается , где - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (; ).

По определению , если или .

Основные свойства арифметического корня n -й степени

1) Корень из произведения:

,

где .

2) Корень из дроби:

,

где .

3) Возведение корня в степень:

,

где .

4) Извлечение корня из корня:

,

где .

5) Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. .

Практические задания

1. Найти значение выражения, используя свойства корня из произведения и из частного.

2. Вычислить, используя свойства извлечения корня из корня.

3. Преобразовать и найти значение выражения с применением свойства возведения корня в степень.

4. Решить уравнение.

 

Для аудиторной работы

 

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

Для самостоятельной работы

 

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

 

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б)

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-4.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n -й степени из действительного числа?

2. Может ли корень четной степени из положительного числа быть отрицательным?

3. При каком условии можно извлечь корень n-й степени из отрицательного числа?

4. Как называется корень n -й степени, если n=2, n=3?

5. Свойства корня n -й степени.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 6

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни

Цель:научиться применять свойства степени и корня для преобразования алгебраических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 6.

Виды самостоятельной работы:

- сравнение выражений;

- вычисление значения выражения с применением свойств степени и корня;

- упрощение буквенных выражений с применением свойств степени и корня;

- решение уравнений графическим способом;

- решение уравнений путем введения новой переменной.

Краткая теоретическая справка

Если - обыкновенная дробь () и , то под понимают :

.

Если - обыкновенная дробь () и , то под понимают :

.

Для степени с рациональным показателем справедливы те же свойства, что и для степени с целым показателем.

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^{r + s} .

2. a^r: a^s = a^{r – s} .

3. (a^r) ^s = a^rs.

4. (ab) ^r = a^r · b^r.

5. .

Практические задания

1. Расположить числа в порядке возрастания.

2. Найти значение выражения.

3. Упростить выражение.

Для аудиторной работы

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Вариант 2

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Вариант 3

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

 

Вариант 4

1. а) и ; б) и .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-3.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют корнем n -й степени из действительного числа?

2. Свойства корня n -й степени.

3. Что понимают под , где n – натуральное число?

4. Что понимают под степенью с дробным показателем?

5. Что понимают под , где ?

6. Свойства степени с действительным показателем.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 7