Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства

 

Определение: Произведением называется целое число

 

Теорема (корректность опр. произв-ия): произведения эквивалентных пар эквивалентны.

Доказательство:

(*)

, (1)

: (2)

: (3)

(4)

(5)

(6)

(5)* (7)

(8)

(4)+(8)

⊠

 

Теорема (коммутативность умножения):

Доказательство: ,

⊠

 

Теорема (Ассоциативность умножения):

Доказательство:

⊠

 

Теорема (Дистрибутивность):

Доказательство:

.

⊠

 

Следствие: Коммутативное кольцо.

 

Свойство: где единица.

Доказательство:

⊠

 

Коммутативное кольцо с единицей.

 

36. Отношение « » в кольце целых чисел и его корректность

 

Определение: Будем говорить, что целое число больше чем целое число , если обозначается .

 

Пример:

,

 

Теорема(Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.

Доказательство: ,

доказать:

⊠

37. Отношение « » как отношение порядка в кольце целых чисел. Свойство трихотомии

 

Определение: Будем говорить, что если или . Аналогично с .

 

Теорема: имеет место только одно из соотношений:

Доказательство:

и – натуральные числа, которые находятся в одном из следующих соотношений:

или или

или или . ⊠

 

Теорема: Отношение «» является отношением порядка на множестве Z.

Доказательство:

· Рефлексивность:

· Антисимметричность: и

· Транзитивность: и

Докажем:

⊠

 

38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел : определение, корректность определения, описание.

 

Определение: Будем говорить, что целое число положительное, если . И будем обозначать множество всех положительных целых чисел.

 

Свойство (корректность определения): Определение корректно.

Доказательство: ,

доказать:

⊠

 

Лемма: Множество имеет вид

Доказательство:

1) ,

2)

. ⊠

 

39. Биекция сохранение отношения «>», суммы и произведения. Отображение как вложение в

 

Свойство: биекция

Доказательство:

1) если отображение и иньекция

2) ⊠

 

Теорема: Отображение сохраняет отношение «больше чем», сумму ипроизведение.

Доказательство:

·

⊠

 

Следствие: Отображение является инъекцией, сохраняет сумму, произведение и отношение «>».

Таким образом, является вложением в и позволяет нам рассматривать как подмножество в .

 

40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. . Архимедовость и дискретность кольца целых чисел.

 

Свойство: Положительное число равно натуральному числу .

Доказательство:

. ⊠

 

Свойство: Любое целое число равно разности натуральных чисел .

Доказательство:

Рассмотримсумму

⊠

 

Определение: Целое число называется отрицательным, если

 

Свойство: Число положительное тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

положительное . ⊠

Свойство: , где .

 

Свойство (Архимедовость кольца целых чисел):

Доказательство:

1) Если (для архимедовость доказана)

2) Если ⊠

 

Свойство (дискретность): Каждое целое число имеет соседнее число , т.е.

Доказательство:

1) (для дискретность доказана)

2) Поставим в соответствие отрицательное число , . Получается биекция

От противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось , то тогда бы, так как – биекция, , что является противоречием для натуральных чисел.

3) Нет целого числа между 1, 0 и -1, 0

натурального числа перед целого числа между и

отрицательного перед целого числа между и . ⊠