Теорема о равномощности конечного множества только одному отрезку натурального ряда

 

Теорема: конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда

Доказательство: отрезок не может быть равномощным отрезку , если

ММИ(n)

?! Противоречие

если ?!

если

можем считать, что

 

 

 

Рассмотрим ограничения отображения на , т.к. - биекция, то ни один из элементов отрезка не отображается в элемент .

инъекция – инъекция

– биекция . ⊠

 

Определение: Пусть , число называется количеством элементов множества .

 

Лемма о наибольшем и наименьшем элементе в конечном множестве. Бесконечность множества натуральных чисел

 

Лемма: Каждое не пустое конечное множество содержит наибольший и наименьший элемент

Доказательство: ММИ по количеству элементов в множестве

если в множестве 1элемент, то он и наименьший и наибольший

, ,

каждое конечное множество , в котором элементов, содержит наибольший и наименьший элемент.

, ,

По предположению индукции в множестве выберем наибольший элемент и обозначим его . Сравниваем и и выбираем наибольший элемент. Это и будет наибольший элемент множества .Аналогично находим наименьший элемент множества . ⊠

 

Теорема: Множество всех натуральных чисел бесконечно

Доказательство (от противного): По лемме, в каждом конечном множестве существует наибольший элемент , но . Получили противоречие. Следовательно, максимального элемента нет, а значит множество натуральных чисел бесконечно. ⊠

 

Счетность множеств целых и рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел

 

 

32. Отношение эквивалентности на множестве N². Определение целого числа как класса эквивалентности на N². Примеры

 

Определение: Пусть . если

Пример:

…

 

Теорема: Отношение (эквивалентности) является отношением эквивалентности.

Доказательство:

рефлексивность:

симметричность:

транзитивность: ?

⊠

 

Свойство:

Доказательство: ⊠

 

Определение: Целым числом будем называть класс эквивалентности относительно отношения эквивалентности на .

Мн-во всех классов эквивалентности наз. множеством целых чисел и обозначается .

класс эквивалентности пары

фактор-множество по отношению эквивалентности.

Пример:

, ,

 

Определение суммы целых чисел и его корректность

 

Определение: суммой целых чисел называется целое число .

 

Теорема (корректность определения суммы): сумма не зависит от выбора представителя класса (суммы эквивалентных пар – эквивалентны).

Доказательство:

Докажем: ?

 

Свойство сложения целых чисел. Аддитивная абелева группа целых чисел

 

Теорема (коммутативность сложения):

Доказательство:

⊠

 

Теорема (ассоциативность сложения):

Доказательство:

⊠

 

Свойство: целое число явл. нейтральным отн. сложения в Z

.

Доказательство:

⊠

 

Определение: целое число наз. нулем.

 

Свойство: , который явл. противоположным к эл-ту относительно сложения.

Доказательство: ?

⊠

 

Следствие: аддитивная абелева группа.