Свойства разности натуральных чисел

 

Теорема

1) и и

2)

Доказательство:

1)

2) пусть ?! ⊠

 

Следствие Свойства справедливы для строгих и нестрогих неравенств.

 

Свойство

1) и и

2)

 

Частное натуральных чисел: определение и единственность. Свойства частного натуральных чисел

 

Определение: Частным чисел и называется такое число (если оно существует), что , обозначается .

 

Теорема: Если частное и существует, то оно единственное

Доказательство:

Пусть ⊠

 

Свойство

Доказательство ⊠

 

Теорема

Доказательство:

1)

· (дано) ?!

· (дано) ?!

⊠

 

24. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел:

 

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Доказательство:

1)

Проверим, подойдет ли вместо правая часть равенства.

?

⊠

 

25. Св-ва сложения и вычитания для натуральных чисел:

 

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Доказательство:

5) ,

Проверим, подойдет ли вместо правая часть равенства.

?

⊠

 

26. Свойства сложения и вычитания для натуральных чисел:

 

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Доказательство:

8)

(1)

(1) ⊠

 

27. Суммы и произведения нескольких натуральных чисел. Обобщенный закон дистрибутивности. n -кратное натурального числа. Степень натурального числа с натуральным показателем и ее свойства

 

Определение (индуктивное) Пусть , тогда сумма натуральных чисел

1)

2) Если сумма определена для натуральных чисел и , то

.

 

Замечание: Если все слагаемые в определении равны , то получим определение -кратного числу . Обозначается . .

Определение (индуктивное) Пусть , тогда произведение натуральных чисел

определяется индуктивно следующим образом:

1)

2) Если сумма определена для натуральных чисел и , то

.

 

Теорема: 1) ( 2) (

Доказательство: 1) ММИ по

( – верно

.

2) ММИ по

(

( – верно

(. ⊠

 

Свойство: .

Доказательство: ММИ ()

– верно

⊠

Свойство:

1) 2)

3) (если m>n) 4)

5) (если существует частное )

Доказательство: ⊠

 

Равномощные множества. Отношение эквивалентности «быть равномощными». Отрезок натурального ряда. Конечные и бесконечные множества

 

Определение: Множества и называются равномощными, если между ними существует взаимно-однозначное соответствие (биекция). ;

 

Свойство: Отношение «быть равномощным» является отношением эквивалентности

Доказательство:

· Рефлексивность:

· Симметричность: биекция биекция

· Транзитивность: , ;

биекция,

биекция

биекция ⊠

 

Определение: Пусть . Отрезком натурального ряда называется множество

Пример:

 

Определение: Множество , равномощное отрезку называется конечным.

Число называется количеством элементов множества.

Множество, которое не является конечным, называется бесконечным.