Ассоциативность умножения натуральных чисел.

 

Теорема (закон ассоциативности умножения)

Доказательство:

ММИ (с):

Пусть

Докажем: ?

⊠

 

14. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: существование.

 

Определение 1: Пусть . Будем говорить, что , если , что

 

Свойство:

Доказательство: .

 

Теорема (Свойство трихотомии):

имеет место только одно из соотношений:

Доказательство (существование): , ММИ().

Пусть для и выполняется одно из соотношений .

Докажем для и :

:

: ⊠

Определение: Отношение на множестве называется отношением строгого порядка, если оно:

1) антирефлексивно: : истина.

2) ассиметрично: :

3) транзитивно: :

 

Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве .

 

15. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: единственность.

 

Определение 1: Пусть . Будем говорить, что , если , что

 

Свойство:

Доказательство: .

 

Теорема (Свойство трихотомии):

имеет место только одно из соотношений:

Доказательство (единственность): докажем, что никакие два соотношения одновременно не выполняются:

:

 

:

 

: , ⊠

 

Определение: Отношение на множестве называется отношением строгого порядка, если оно:

1) антирефлексивно: : истина.

2) ассиметрично: :

3) транзитивно: :

 

Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве .

 

16. Отношение « » как отношение порядка на множестве N.

 

Определение: , если

 

Определение: Отношение на мн-ве называется отношением порядка, если оно:

1) рефлексивно: : истина.

2) антисимметрично: :

3) транзитивно: :

 

Теорема: Отношение «» является отношением порядка на множестве .

Доказательство: 1), 2) – очевидно.

3) ?

,

,

⊠

 

17. Отношение « » как отношение линейного порядка на множестве N

 

Определение: Отношение порядка на множестве называется линейным, если выполняется: .

 

Теорема: Отношение «» является отношением линейного порядка на множестве , т.е.

Доказательство: , ММИ()

:

Пусть для выполняется

Докажем

, ,

⊠

 

Закон монотонности сложения на множестве N и следствия из него

 

Теорема (закон монотонности сложения):

1)

2)

Доказательство: 1) ()

Если

Если

() . От противного: пусть

,

?!

2) Аналогично ⊠

 

Следствие:

1)

2)

 

Закон монотонности умножения на множестве N и следствия из него

 

Теорема (закон монотонности умножения):

1)

2)

 

Следствие:

1)

2)

 

Дискретность и архимедовость множества натуральных чисел

 

Свойство (архимедовость множества )

Доказательство:

⊠

Свойство (дискретность множества )

(Числа и – соседние. В дискретном множестве все точки изолированы, существует понятие «соседи»)

Доказательство: , ?! ⊠

 

Разность натуральных чисел: определение и единственность. Условие существования разности натуральных чисел

 

Определение: Натуральное число (если оно существует) наз. разностью чисел и , если .

 

Теорема

1)

2) если разность существует, то она определена единственным образом.

Доказательство:

1)

() пусть ,

2)пусть

⊠