Псевдослучайные цифровые последовательности, методы генерирования, свойства, области применения

Псевдослучайная последовательность (ПСП) — последовательность чисел, которая была вычислена по некоторому определенному арифметическому правилу, но имеет все свойства случайной последовательности чисел в рамках решаемой задачи.

Хотя псевдослучайная последовательность в этом смысле часто, как может показаться, лишина закономерностей, однако, любой псевдослучайный генератор с конечным числом внутренних состояний повторится после очень длинной последовательности чисел. Это может быть доказано с помощью принципа Дирихле.

Псевдослучайная двоичная последовательность — частный случай ПСП, в которой элементы принимают два возможных значения 0 и 1 (или -1 и +1).

Одна из первых формулировок некоторых основополагающих правил для статистических свойств периодических псевдослучайных последовательностей была представлена Соломоном Голомбом. Три основных правила получили известность как постулаты Голомба.

1. Количество "1" в каждом периоде должно отличаться от количества "0" не более, чем на единицу.
2. В каждом периоде половина серий (из одинаковых символов) должна иметь длину один, одна четверть должна иметь длину два, одна восьмая должна иметь длину три и т.д. Более того, для каждой из этих длин должно быть одинаковое количество серий из "1" и "0".
3. Предположим, у нас есть две копии одной и той же последовательности периода p, сдвинутые относительно друг друга на некоторое значение d. Тогда для каждого d, 0 <= d <= p-l, мы можем подсчитать количество согласованностей между этими двумя оследовательностями Ad, и количество несогласованностей Dd. Коэффициент автокорреляции для каждого d определяется соотношением (Ad - Dd)/p и эта функция автокорреляции принимает различные значения по мере того, как d проходит все допустимые значения.

Тогда для любой последовательности, удовлетворяющей правилу 3, автокорреляционная функция (АКФ) должна принимать лишь два значения.

Правило 3 - это техническое выражение того, что Голомб описал как понятие независимых испытаний: знание некоторого предыдущего значения последовательности в принципе не помогает предположениям о текущем значении. Еще одна точка зрения на АКФ состоит в том, что это некая мера способности, позволяющей различать последовательность и ее же копию, но начинающуюся в некоторой другой точке цикла.

Последовательность, удовлетворяющая правилам 1-3 часто именуется "псевдо-шумовая-последователъностъ". К анализируемой последовательности применяется широкий спектр различных статистических тестов для исследования того, насколько хорошо она согласуется с допущением, что для генерации использовался совершенно случайный источник.

Наиболее часто применяются последовательности максимальной «длины» — М-после-довательности, которые при, заданном числе разрядов формирующего их регистра имеют максимальный период повторения. Псевдослучайная цифровая последовательность чаще всего формируется регистрами (последовательными) сдвига, охваченными линейной обратной связью, в общем случае многопетлевой. Для получения сигнала обратной связи в каждой петле используется двоичный сумматор (сумматор по модулю 2) или элемент «исключающее ИЛИ». Регистр с определенным числом разрядов может синтезировать несколько видов псевдослучайных цифровых последовательностей в зависимости от структуры обратной связи. Из всех таких последовательностей М-последова-тельности имеют максимальное число символов в периоде повторения кодовой комбинации, поскольку они включают в себя все состояния регистра, кроме нулевого.

Формируемая с помощью N-разрядного регистра сдвига М-последовательность двоичных символов периодична и содержит все (2N—1) двоичных комбинации состояний регистра в одном периоде (кроме нулевой). Величина (2 —1) называется числовым периодом, длительность которого во времени равна

T_N=(2^N-1)T_T=(2^N-1) / f_T где Т_T=1 / f_T.

Число разрядов N регистра сдвига может быть выбрано исходя из максимально допустимой?_f и f_T по формуле

N=log₂(f_T/?_f). (4)

Полученное значение N округляют до целого числа в большую сторону. Конкретная структура формирователя цифровой М-по-следовательности определяется как математическими закономерностями, так и дополнительными условиями: экономическими, конструктивными, применяемой элементной базой и т. д.