Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.

 

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то .

Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при .

Для простоты будем предполагать, что функции и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .

Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где , .

При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .

Пример. Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел функции: .

.

44. Правила исследования функций.

 

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Область определения функции : .

2. Исследование функции на четность-нечетность.

Так как , то функция общего вида.

3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как , .

4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Так как , то функция горизонтальных асимптот не имеет.

Так как , , то прямая является наклонной асимптотой.

5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Найдем производную первого порядка . Приравняем первую производную к нулю , откуда , . Знаки производной первого порядка указаны на рисунке.

 

	-	+	-
	-1

 

Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .

6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка . Приравняем вторую производную к нулю , откуда . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.

 

	+	+

 

Функция выпукла вверх на интервалах , . Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.

 

ВОПРОС 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.

Функции нескольких переменных. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Поверхности и линии уровня

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид: или

Кривые безразличия — представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей. Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия