Достаточное условие разложение ф-й в степенные ряды

Если в некотором интервале, содержащем точку , абсолютные величины всех пр-х ф-ии f(x)ограничены одним и тем же числом M ≤M, n=1,2…, то ф-я f(x) в этом интервале разлагается в ряд тейлора.

18. Вычисление площадей плоских фигур:

1. на и

2. на и

3. на график имеет вид

4. даны две функции: и на промежутке

5. на промежутке то получаем

6. и на промежутке (графики ориентированны на )

 

 

Длина дуги плоской кривой.

Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]

- длина дуги АВ

 

Y(k-1) M(k-1)

M1

Yk A Mk

M(n-1) B

a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn

Вычисление объёмов тел вращения.

 

Неберущиеся интегралы.

Опрерация дифференц-я не выводит нас из класса элемент.ф-й. С операцией интегрир. дело обстоит иначе: интегралы от некот. элемент. ф-й уже не явл. элемент. ф-ми. Например: – интег. Пуассона; – инт. Френеля;

– интег.логарифм,

 

Евклидова плоскость и евклидово пр-во

Координатную плоскость называют евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками определяется по ф-ле

Аналогично вводится понятие трёхмерного евклидово пр-ва. В этом случае каждая точка М коорд. пр-ва хар-ся упорядоченной тройкой чисел , а расстояние между любыми двумя точками пр-ва опред-ся ф-лой

 

Понятие функции нескольких переменных.

Пусть имеется 2 непустых множества: DÌR(в квадрате),UÎR. Если каждой паре чисел "(x,y)ÎDy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: D®U. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)ÎD,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости. Ф-ю неск. веществ. перем. Как и ф-ю одной перем., можно задать аналитическим, табличным или описат. способом.

Графиком ф-и z=(f,y) ((x,y) Ω) назыв. мн-во точек в пр-ве R³,коорд. x,y, кот. принад.Ω, а z нах. по ф-ле z=(f,y).Даже для ф-и 2х перем. изуч. и изобр. график ф-и затруднит. С целью изуч. граф. ф-и будет понятие линии ур-ня. Линией ур-ня С наз. совок. точек на плоск. Оху, для кот. (f,y)=С(const). В эк. линией ур-ня наз. изоквантами, изокостами в завис. от того, какой эк. проц. изучается.

Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Число А называется пределом функции f(x,y), при x®xo, y®yo, если для любой последовательности точек "(xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)®A

Св-ва:

1. арифметические операции

2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро

3. Если , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).