Тема: Погрешности вычислений

Применение любого численного метода требует оценки погрешности результата вычислений - это непременная составная часть любого серьёзного применения численного метода.

При численном решении задач возникают три типа погрешностей:

погрешности в исходной информации из-за неточных измерений, грубых просчётов или невозможности представить нужную величину конечной дробью;

погрешности ограничения, когда бесконечный математический процесс ограничивается конечным числом операций, определяемых выбором того или иного численного метода при решении задачи;

погрешности округления, связанные с необходимостью представлять числа в виде конечной последовательности цифр, заносимых в ограниченную разрядную сетку ЭВМ.

Введём обозначения: - точное значение; - приближённое значение; тогда абсолютная погрешность ;

относительная погрешность .

В знаменателе относительной погрешности стоит приближённое значение, так как точное значение неизвестно.

Обычно измеряется в % и чем меньше , тем выше точность вычислений. Абсолютную погрешность записывают с 1-2 значащими цифрами, и округление погрешности выполняют в сторону её увеличения.

Значащими цифрами называют все цифры числа, кроме нулей левее первой отличной от нуля цифры и тех нулей в конце числа, которые заменяют отброшенные или неизвестные цифры.

Задача 1. Заданы веса 4-х грузов и абсолютные погрешности взвешиваний. Определить относительные погрешности во всех вариантах взвешиваний и найти среди них наиболее точное взвешивание.

Вес
0,5кГ 1,3кГ 5,31кГ 50кГ	1Г	0,2*10-2 0,77*10-3 0,19*10-3 0,2*10-4	10Г	0,2*10-1 0,77*10-2 0,19*10-2 0,2*10-3	5мГ	0,1*10-4 0,39*10-5 0,95*10-6 0,1*10-6

Задача 2. Измерены 4 расстояния и заданы относительные погрешности измерений. Определить абсолютные погрешности измерений.

Рассто- яния
500м 3,5км 10м 1,25м	0,1	50м 0,35км 1м 0,13м	0,1%	0,5м 0,0035км 0,01м 0,0013м	5%	25м 0,18км 0,5м 0,063м

Задача 3. Для приближённых равенств найти наибольший промежуток [0; ], на котором абсолютная погрешность не превышает заданного значения .

1) заданная абсолютная погрешность .

Решение.

При наибольшее значение .

2) заданная абсолютная погрешность . Решение. , откуда

пренебрегаем под и выбираем больший корень уравнения .

При наибольшее значение .

Верные знаки числа

В приближённом числе цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы его разряда. Все предшествующие цифры этого числа тоже верные, а за последней верной цифрой следуют сомнительные.

Под числом верных десятичных знаков числа понимают число верных цифр после запятой.

Пример. Пусть все цифры чисел верные.

Обычно в промежуточных вычислениях сохраняют кроме верных цифр 1-2 сомнительных, а в окончательном результате не более одной сомнительной цифры.