Бесконечно большие последовательности

Теоремы о свойствах б.м.п.

· Сумма(разность) двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (верно для любого числа слагаемых)

· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая

· Частное от деления бесконечно малой на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному 0, есть бесконечно малая

· Если у - бесконечно большая, то 1/у – бесконечно малая

· Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая последовательность

Бесконечно большие последовательности

Бесконечно большой последовательностью называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если для сколько угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующий номеров n>N, выполняется неравенство I x_n I > А:

Теоремы о величинах, обратных бесконечно большим и бесконечно малым

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Предел последовательности

Предел последовательности – это число, к которому члены последовательности стремятся при неограниченном возрастании номера n.

 

а_n А при n N

 

16. Определение предела последовательности на языке «ε» - «N»

Число А – предел последовательности { а_n }, если для любого, сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число N (зависящее от ε), что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполнено неравенство:

I а_n - АI < ε

Свойства последовательностей, имеющих предел

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

1. , где — константа;

2. , если указанные пределы существуют;

3. при том же условии;

4. , если пределы существуют и

 

Геометрический смысл предела последовательности

Число а – предел последовательности { а_n }, если для любой е-окрестности точки а, найдется натуральное число N, что все значения а_n, для которых n>N, падут в е-окрестности точки а.

Теорема о единственности предела последовательности

Теорема. Последовательность не может иметь больше одного

предела.

Доказательство. Следует из того, что последовательность не

может одновременно приближаться к двум разным числам

одновременно.

Выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.

Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N,

начиная с которого одновременно будут выполнены два

условия:

I а_{n -} А I < ε иI а_{n -}В I < ε

Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

Замечательный предел типа e

Математики рассматривали последовательность(а эн равное лимит стремящийся к бесконечности (1-1+/n) в степени n) Эта последовательность {an } возрастает и ограничена сверху (доказательство это-

го любознательные студенты могут посмотреть в учебниках математики). Следовательно, существует предел этой последовательности.Его и обозначили через е в честь математика Эйлера (1707-1783).

Предел функции в точке.

Имеется также определение предела функции, при стремлении

аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в

точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

 

25. определение предела функции на языке

 

Производная сложной функции

Бином Ньютона

 

Свойства дифференциала

 

Таблица дифференциалов

 

Формула Ньютона—Лейбница

.

66.

1.Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b.

2. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное

Доказательство.

.

3. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

,

где С — некоторое число.
Доказательство.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

,

Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Доказательство.

6. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.

.

Доказательство. Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [ a, b ]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S ₁ + S ₂.

7Если на отрезке [ a, b ], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то

.

Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [ a, b ] и выбор точек x ₁, x ₂,…, x_n на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

.

Переходя к пределу при max Δ x_i → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
Следствие. Пусть на отрезке [ a, b ] где а < b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда

67. Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], где а < b, то найдется такое значение c Î [ a, b ], что

.

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [ a, b ] вверны неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [ a, b ]. Тогда,

Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [ a, b ], что

,что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [ a, b ]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [ a, b ], что площадь под кривой y = f (x)

на отрезке [ a, b ] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).

68.

69.

 

 

Теоремы о свойствах б.м.п.

· Сумма(разность) двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (верно для любого числа слагаемых)

· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая

· Частное от деления бесконечно малой на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному 0, есть бесконечно малая

· Если у - бесконечно большая, то 1/у – бесконечно малая

· Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая последовательность

Бесконечно большие последовательности

Бесконечно большой последовательностью называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если для сколько угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующий номеров n>N, выполняется неравенство I x_n I > А: