Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Внутренняя энергия идеального газа

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальныхгазов

где n – концентрация молекул газа;<e _n > – средняя энергия поступательного движения одной молекулы; m – масса молекулы;< v ²> – среднее значение квадрата скорости.

2. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы

<e₁>= .

3. Средняя кинетическая энергия молекулы

,

где k = R/N_А = 10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана; i – число степеней свободы молекулы.

Для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для трёх и более атомных газов i = 6.

4. Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа:

.

5. Зависимость давления газа от концентрации молекул и абсолютной температуры

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Давление в сосуде с водородом равно 0,266 МПа. При этом средняя квадратичная скорость молекул равна 1400 м/с. Определить число молекул водорода в 1 см³.

Дано:	Решение:
V = 1 см3 = 10-6м3 р = 0,266 МПа Па м/с кг/моль	Зависимость давления от концентрации n и абсолютной температуры Т имеет вид ,(1) отсюда число молекул N в данном объеме
N =?

. (2)

Неизвестную температуру Т определим, используя выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекулы

. (3)

Приравняем выражению для кинетической энергии молекулы

, (4)

где масса молекулы водорода .

Из формулы (4) выразим Т:

, (5)

Подставив выражение (5) в формулу (2) и учитывая, что , получим:

.

Проведем вычисления:

молекул.

 

Задача 2

Кислород массой 1 кг находится при температуре 320 К. Определить 1) внутреннюю энергию газа; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.

Дано:	Решение:
m = 1 кг Т = 320 К кг/моль	Выражение для внутренней энергии идеального газа имеет вид , (1)
1) U =? 2) < E вр> =?

Кислород – двухатомный газ, для него полное число степеней свободы его молекул i = 5, из них 3 степени свободы приходятся на поступательное, а две – на вращательное движение

, (2)

в данной массе газа содержится N молекул,

 

где

. (3)

Средняя кинетическая энергия вращательного движения всех N молекул

. (4)

Проведем вычисления внутренней энергии по формуле (1), подставив в неё исходные данные:

Дж = 208 кДж.

Проведем вычисление < E _вр> по формуле (4):

Дж = 83,1 кДж.

 

Элементы классической статистики

1. Скорости молекул:

- cредняя квадратичная

,

- cредняя

,

- наиболее вероятная

,

где m ₁– масса молекулы, равная

.

2. Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где d – эффективный диаметр молекулы.

3. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где – средняя скорость молекул.

4. Барометрическая формула, выражающая зависимость давления идеального газа от высоты h над поверхностью Земли,

где p – давление газа на высоте h, p ₀– давление газа на высоте h = 0, Т – абсолютная температура воздуха на высоте h = 0.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

Дано:	Решение:
Т = 300 К < l > = 0,1 мкм = 10-7м кг/моль	Число столкновений молекул за 1 с можно определить по формуле , (1) где – средняя скорость молекул
<z 1 >?

, (2)

< l > – средняя длина свободного пробега.

Так как , а давление р = nkT, то длина свободного пробега молекул пропорциональна давлению.

Тогда , т.е.

. (3)

Подставив в формулу (3) выражение для <z>, получим:

. (4)

Проведем вычисления, подставив в формулу (4) числовые значения

с^-1.

 

 

Задача 2

На сколько отличается атмосферное давление на вершине горы высотой 830 м от давления у подножия горы, если у подножия оно равно 100 кПа, а температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

Дано:	Решение:
h = 830 м р 0= 100 кПа = 105 Па Т = 290 К	Зависимость давления газа от высоты выражается барометрической формулой , (1)
-?

где р – атмосферное давление на вершине горы; р ₀ – давление у ее подножия; h – высота горы; Т – термодинамическая температура.

Находим искомое изменение давления

.

Воспользуемся разложением функции е^x в ряд Тейлора и ограничимся первыми членами разложения, так как показатель экспоненты .

Получим:

.

Произведем расчет, используя табличные данные:

.