Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение Бернулли

Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли [1, с. 422-423].

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

.

По методу Бернулли (см. комментарий с. 226) решение этого уравнения ищут в виде: . (см. решение типовых задач, пример 1).

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .

Уравнение Бернулли имеет вид:

.

Решение уравнения Бернулли можно также искать в виде .

Задачи А

1. Определить типы уравнений и указать способы их решения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

Задачи Б

Решить дифференциальные уравнения:

2. . 3. . 4. .

5. Решить задачу Коши: .

Домашнее задание

Решить дифференциальные уравнения:

6. . 7. .

Решить задачу Коши:

8. . 9. .

Дополнительные задачи

Решить дифференциальные уравнения:

10. . 11. . 12. .

Решение типовых задач

Пример 1. Решить уравнение .

Это линейное дифференциальное уравнение. Полагаем , тогда и уравнение принимает вид

или

. (10.2)

Функцию найдем из условия, чтобы обращался в нуль коэффициент при в уравнении (10.2):

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Тогда

,

откуда находим любое отличное от нуля решение:

.

Подставляя найденную функцию в (10.2), получим:

, ,

Откуда . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения: .

Ответы

2. 3. 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .

 

Дифференциальные уравнения второго порядка,

Допускающие понижение порядка

Основные понятия: дифференциальное уравнение второго порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, теорема существования и единственности решения задачи Коши; уравнения, допускающие понижения порядка [1, стр. 431-435].

Дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной .

I. Простейшее уравнение 2-го порядка: .

Решение этого уравнения получается путем двукратного интегрирования.

II. Уравнения, не содержащие явно неизвестной функции это уравнения вида .

Порядок уравнения понижают, полагая , тогда .

III. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной имеют вид: Порядок уравнения понижают, полагая , тогда .

Задачи А

1. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .

2. Показать, что уравнение имеет интегральные кривые и , пересекающиеся в точке Противоречит ли это теореме существования и единственности решения задачи Коши?

3. Используя методы понижения порядка, свести к уравнениям первого порядка следующие дифференциальные уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4. Найти общее решение уравнения .

Задачи Б

5. Решить задачу Коши:

Решить уравнения:

6. . 7. .

Решить задачу Коши:

8. 9.

Домашнее задание

Решить уравнения:

10. . 11. .

Решить задачу Коши:

12. . 13. .

Дополнительные задачи

Решить уравнения:

14. . 15. .

16. . 17. .

18. Решить задачу Коши: .

Решение типовых задач

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим

, ,

.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Полагаем , тогда и уравнение принимает вид

или Это линейное уравнение относительно функции Найдем решение этого уравнения методом Бернулли. Полагаем Имеем: или . Подберем функцию так, чтобы . Тогда , . Получаем , , . Следовательно, . Из условия получаем . Имеем или . Интегрируя, получим . Находим из начальных условий: , . Таким образом, искомое частное решение.

Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Полагаем , тогда и уравнение принимает вид

.

Так как (иначе , что противоречит начальному условию ), то Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Из начальных условий получаем . Откуда имеем . Следовательно, или . Разделяя переменные и интегрируя, получим . Из условия находим . Таким образом, искомое частное решение данного уравнения.

Ответы

5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. .