Формула полной вероятности. Формула Байеса. Три задачи.

Определение. Говорят, что события образуют полную группу событий, если выполнены два условия:

1) ;

2) , .

Теорема 8.1. Пусть события образуют полную группу событий. Тогда верны равенства:

1) (формула полной вероятности);

2) , (формулы Байеса).

Пример 8.1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,07, а на втором −0,08. Производительность второго автомата втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартная.

Решение.

Рассмотрим события: – деталь изготовлена на 1−ом автомате; – деталь изготовлена на 2−ом автомате. События образуют полную группу событий. Пусть событие − деталь, взятая с конвейера деталь нестандартная. Пусть число деталей, изготовленных на 1−ом автомате. Тогда число деталей, изготовленных на 2−ом автомате и число деталей, которые поступают на общий конвейер. Найдем вероятности событий , используя формулы классической схемы:

, .

Контроль: (верно).

Из условия находим остальные вероятности:

, .

По формуле полной вероятности вероятность события равна

.

Пример 8.2. Имеются две урны. В первой урне 8 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных. Из первой урны, не глядя, берут один шар и кладут его во вторую урну. Из второй урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

 

Решение.

Рассмотрим события: – из первой урны взят белый шар; – из первой урны взят черный шар. События образуют полную группу событий. Пусть событие −из второй урны взят белый шар. Найдем вероятности событий, используя формулы классической схемы:

;

Контроль: (верно).

По формуле полной вероятности вероятность события равна

.

 

Пример 8.3. В трех однотипных ящиках находятся стандартные и нестандартные детали. В первом ящике лежат 3 стандартные детали и 2 нестандартные детали, во втором – 4 стандартные и 1 нестандартная деталь, в третьем – 5 стандартных деталей и 2 нестандартные детали. Из наудачу взятого ящика наудачу извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что эта деталь лежала в первом ящике.

 

Решение.

Пусть – события, состоящие в том, что выбран первый, второй, третий ящик соответственно. Пусть событие − деталь стандартная. События образуют полную группу событий. Найдем вероятности событий, используя формулы классической схемы:

;

Контроль: (верно).

 

По формуле полной вероятности вероятность события равна

По формуле Байеса

.

Схема Бернулли.

9.1. Основные определения.

Из урны, в которой лежат две буквы и , последовательно с возвращением вытаскивают одну букву и раскладывают вытащенные буквы по порядку в ряд. Получается слово из букв и , которое является размещением с повторениями из двух элементов по элементов. Это слово объявляется элементарным событием. Из комбинаторики следует, что число всех элементарных событий равно .

Будем вводить вероятность события, пользуясь классической вероятностной схемой с неравновозможными исходами. Для этого достаточно ввести вероятности элементарных событий , . Подробно опишем этот процесс, предполагая для простоты, что . Предположим, что задано число , такое, что и пусть .

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

 

Так как

,

то новая вероятностная схема с неравновозможными исходами имеет право на существование. Она называется схемой Бернулли или биномиальной схемой. Совершенно аналогично эта схема определяется при любом .

 

Пример.9.1. Найти вероятность того, что буква будет вытащена последней, если .

Решение.

Введем событие , которое наступает тогда и только тогда, когда последней будет вытащена буква . Ясно, что .

.