И выявление соответствия ее распределения нормальному закону

распре­деления случайных величин

Уравнение кривой нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид

, (7)

 

где σ – среднее квадратическое отклонение, определяемое по формуле

 

, (8)

где ∆_{П (i)_} – текущее значение погрешности позиционирования;

∆_{П (ср)} – среднее взвешенное арифметическое значение этой погрешности, которое, в свою очередь, можно определить по формуле

 

, (9)

 

где m_i – частота попадания значений ∆_П в каждый интервал, на которые разбиты оси эллипса рассеяния;

N – количество рабочих циклов позиционирования, когда произ­водилось определение погрешности позиционирования;

m_i/N – частость достижения случайной величиной значений, попадаю­щих в данный интервал;

k – количество интервалов (следует выбрать k = 7…8).

Пример расчета ∆_{П (ср)} (рисунок 8):

 

∆_{П (ср)} = 1/100 (0,01 x 5 + 0,03 x 8 + 0,05 x 19 + 0,07 x 28 + 0,09 x 22 + 0,11 х x 13 + + 0,13 x 5) = 1/100 (0,05+0,24+0,95+1,96+1,98+1,43+0,65) = 1/100 х 7,26 = = 0,0726 ≈ 0,073 мм.

Как известно, координата центра группирования совпадает со зна­чением среднего взвешенного арифметического случайной величины, в данном случае – погрешности ∆_П, и является математическим ожиданием величины этой погрешности.

Если теоретическая кривая нормального распределения имеет симмет­ричный вид (рисунок 9а), то практически под влиянием различных причин систематического и случайного характера вершина кривой распределения может быть смещена относительно середины эллипса рассеяния.

Одной из причин может служить влияние жестких упоров, по которым осуществляется позиционирование руки робота (рис. 9б). Кривая может носить также усеченный вид.

Для построения теоретической кривой нормального распределения рассчитывают координаты опорных точек:

 

(10)

 

 

Рисунок 8 – Пример построения гистограммы и полигона практического распределения погрешности позиционирования (N =100 циклов)

 

Ординаты точек перегиба с абсциссами, равными σ:

 

. (11)

Или приближенно: Y _A = Y _B ≈ 0,6 Y_MAX ≈ 0,24/ σ. (12)

Рисунок 9 – Теоретическая кривая нормального закона распределения (а), усеченного нормального закона (б)

 

Этих значений достаточно для построения теоретической кривой нор­мального распределения, которую необходимо совместить с уже построен­ным полигоном практического распределения ∆_П. Следует учесть, что ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс на расстоянии

3σ от положения ее вершины. При этом 99,73% значений исследу­емой погрешности попадает в этот интервал, равный 6σ.

Следует провести проверку сходимости практического и теоретическо­го распределений погрешности позиционирования. Для этого используют, например, критерий согласия Пирсона (Х-квадрат). Все поле изменения погрешности ∆ n разбивают на К интервалов (рекомендуемое К = 7 – 8).

Определяют опытное значение критерия X²

 

, (13)

где К – количество интервалов или сравниваемых частот;

m_k – практическое значение частоты, т.е. количества значений ∆_П в данном интервале (оно определяется с использованием гистограммы);

f – теоретическая частота, определяемая как количество значе­ний ∆_П , снятое с кривой нормального распределения.

Затем вычисляют число степеней свободы по формуле

n = k – p – 1, (14)

где р – число параметров распределения (р = 2). По таблице находят критическое значение x²_кр. Если соблюдается соотношение Х²_оп < x²_кр, то практическое распределение ∆_П соответствует нормальному закону с определенной степенью вероятности. Необходимым условием применения критерия X² является наличие 5 – 10 значений погрешности в каждом интервале.

 

Таблица 3 – Значения критерия Пирсона

 

Число степеней свободы, n	В е р о я т н о с т ь
0.99	0.95	0.80	0.50
	0,020   0,115   0,300   0,550   0,870   1,240	0,103   0,352   0,710   1,140   1,630   2,170	0,446   1,005   1,650   2,340   3.070   3,320	1.386   2,366   3,360   4.350   5,350   6,340

 

Далее надо сделать обобщения о величине погрешности позиционирования c учетом ее характеристик как случайной величины, а также сопоставить полу­ченные значения с паспортными данными промышленного робота.

Для этого в том же масштабе на гистограмму нанести (рисунок 8) значение погрешности позиционирования робота данной модели (таблице 1). Устанавливают процент показаний, выходящих за указанные границы, и делают заключение о реальной точности робота.

Далее следует сделать выводы о влия­нии погрешности ∆_П (∆_ПП) на безотказность выполнения технологических опе­раций, требующих различной точности робота, и уточнить порядок выбора нужной модели промышленного робота.