Кафедра математического моделирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ СТУДЕНТОВ,

ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ЗАОЧНОЙ ФОРМЕ

 

 

Тула 2016

 

Инструкция

При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

 

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть напечатано следующее (фамилия печатается или пишется большими печатными буквами)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего образования «Тульский государственный университет» Институт прикладной математики и компьютерных наук КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Контрольная работа № ____ по дисциплине «Математика» Группа __________ Фамилия И.О. _________________________ № зачетной книжки ___________ № варианта: таблица _____, вариант _____ Преподаватель: _____________________________ Не зачтенные задания                 Дата сдачи работы Отметка о зачете Дата Подпись

 

2. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки. Если пред­последняя цифра номера зачетной книжки есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номе­ра задач приводятся в таблице с нечетным номером; если же предпоследняя цифра — число четное (0, 2, 4, 6, 8), то номера задач даны в таблице с четным номером. Номера таблиц выбираются в соответствии со специальностью:

 

Число семестров изучения дисциплины	Номера таблиц
	1, 2
	3, 4
	5, 6
	7, 8

 

3. Задачи следует располагать в порядке возрастания номеров. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать условие. Решение задач следует излагать подробно, с указанием необходимых формул.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, с указанием осей координат и единиц масштаба.

5. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамо­стоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме.

6. Получив не зачтённую работу, студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Неправильно выполненные задачи исправляются целиком в конце работы (работа над ошибками). Исправленная работа представляется на повторное рецензирование.

7. Студент допускается до экзамена при наличии зачтенной контрольной работы.

 

 

Таблица 1

 

Номер варианта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

Номера задач для контрольных работ

Работа 3

Работа 4

 

 

Таблица 2

 

Номер варианта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

Номера задач для контрольных работ

Работа 3

Работа 4

 

 

Таблица 3

 

Номер вари- анта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

Работа 3

 

Таблица 4

 

Номер вари- анта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

Работа 3

 

Таблица 5

 

Номер варианта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

 

 

Таблица 6

 

Номер варианта

Номера задач для контрольных работ

Работа 1

Работа 2

 

Таблица 7

Номер варианта	Номера задач для контрольной работы 1

Таблица 8

 

Номер варианта	Номера задач для контрольной работы 1

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

В задачах 1—20 даны вершины треугольника AВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр:

 

1.	А(-5; 0), В(7; 9), С(5; -5)	11.	А(-5; 2), В(7; -7), С(5; 7)
2.	А(-7; 2), В(5; 11), С(3; -3)	12.	А(-7; 5), В(5; -4), С(3; 10)
3.	А(-5; -3), В(7; 6), С(5; -8)	13.	А(-7; 1), В(5; -8), С(3; 6)
4.	А(-6; -2), В(6; 7), С(4; -7)	14.	А(0; 3), В(12; -6), С(10; 8)
5.	А(-8; -4), В(4; 5), С(2; -9)	15.	А(-8; 4), В(4; -5), С(2; 9)
6.	А(0; -1), В(12; 8), С(10; -6)	16.	А(-2; 2), В(10; -7), С(8; 7)
7.	А(-6; 1), В(6; 10), С(4; -4)	17.	А(1; 2), В(13; -7), С(11; 7)
8.	А(-2; -4), В(10; 5), С(8; -9)	18.	А(-4; 1), В(8; -8), С(6; 6)
9.	А(-3; 0), В(9; 9), С(7; -5)	19.	А(-7; -1), В(5; -10), С(3; 4)
10.	А(-9; -2), В(3; 7), С(1; -7)	20.	А(-3; 3), В(9; -6), С(7; 8)

 

В задачах 21—30 даны координаты точек А, В, С. Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол в градусах (с точностью до градуса) между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору :

 

21.	А(7; -4; 1), В(12; -3; 1), С(10; 1; 5).
22.	А(0; -3; 3), В(5; -2; 3), С(3; 2; 7).
23.	А(-2; -1; -2), В(3; 0; -2), С(1; 4; 2)
24.	А(-6; 0; 0), В(-1; 1; 0), С(-3; 5; 4)
25.	А(-2; -3; -8), В(3; -2; -8), С(1; 2; -4)
26.	А(1; 0; -1), В(6; 1; -1), С(4; 5; 3)
27.	А(-1; 4; 1), В(4; 5; 1), С(2; 9; 5)
28.	А(3; -6; -3), В(8; -5; -3), С(6; -1; 1)
29.	А(1; 0; 0), В(6; 1; 0), С(4; 5; 4)
30.	А(2; -8; -2), В(7; -7; -2), С(5; -3; 2)

 

 

В задачах 31—40 даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

 

31.	={2; 1; 3}, ={3; -1; 1}, ={1; -1; -2}, ={7; 0; 7}
32.	={5; 3; 1}, ={-2; -1; 2}, ={-2; 1; 4}, ={3; 0; 1}
33.	={1; 3; 5}, ={-2; -1; -1}, ={4; -2; 4}, ={-7; 3; -1}
34.	={3; 1; 6}, ={-2; 2; -3}, ={-4; 5; -1}, ={3; 0; 1}
35.	={4; 1; 4}, ={-2; -1; 1}, ={3; 1; 5}, ={-3; -2; 1}
36.	={1; 2; 5}, ={2; -3; 4}, ={1; -1; -2}, ={3; 0; 1}
37.	={5; 1; 2}, ={3; 4; -1}, ={-4; 2; 1}, ={-3; 5; 4}
38.	={2; 1; 5}, ={-4; 3; 5}, ={1; -1; -4}, ={4; -1; -3}
39.	={3; 1; 4}, ={-4; 2; 3}, ={2; -1; -2}, ={7; -1; 0}
40.	={1; 4; 2}, ={5; -2; -3}, ={-2; -1; 1}, ={-3; 2; 4}

 

В задачах 41—50 систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

 

41.		46.
42.		47.
43.		48.
44.		49.
45.		50.

 

В задачах 51—70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

 

В задачах 71—90 найти производные функций:

.

.

 

В задачах 91—110 исследовать данные функции метода­ми дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следую­щей схеме: 1) найти область определения функции; 2) иссле­довать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы монотонности функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функ­ции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции:

 

111. Каковы радиус основания R и высота H открытого цилиндрического бака данного объема V, чтобы на его изго­товление пошло наименьшее количество листового металла?

112. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, за­вершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

113. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс

114. Найти наибольший объем цилиндра, полная поверх­ность которого равна S.

115. Найти наибольший объем конуса, образующая кото­рого равна l.

116. Определить размеры открытого бассейна с квадрат­ным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

117. Сумма двух положительных чисел равна a. Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей?

118. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

119. На параболе y = x² найти точку, наименее удаленную от прямой

y = 2x - 4.

120. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, который имеет наибольшую площадь.

 

В задачах 121—125 исследовать на экстремум функцию двух переменных:

121. z = 3x + 3y – x² – xy – y² + 6.

122. z = 7x + 8y – x² – xy – y² – 10.

123. z = 8x – 4y + x² – xy + y² + 15.

124. z = x² + y² – 6x – 8y + 12.

125. z = 2x – 8y – x² – y² – 9.

 

В задачах 126—130 найти наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области:

126. z = x² + xy – 6x – 2y + 2 в прямоугольнике 1 £ x £ 3, 1 £ y £ 4.

127. z = x² + 4xy – y² – 5 в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и прямой у = 2 – х.

128. z = x² + y² – 10x – 2y + 15 в прямоугольнике 2 £ x £ 6, 0 £ y £ 5.

129. z = x² – xy + 8х –y + 7 в области, ограниченной параболой

у = –х² – 4х и осью Ох.

130. z = x² + 2y² + 4xy + 2х + 4y + 2 в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2.

 

В задачах 131—150 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

 

	а	б	в
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.