Практическое занятие №2 (1ч)

Вычисление производной функции

1. Найти производные функций:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)

Практическое занятие №3 (1ч)

Нахождение частных производных и полного дифференциала функции многих переменных

1. Найти частные производные полные дифференциалы следующих функций:

а) б)

 

в) г)

 

д) при х =1, у =2.

 

Тема 6. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл

Содержание программы

6.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

6.2. Методы интегрирования: замена переменной, поднесение под знак дифференциала.

6.3. Метод интегрирования по частям.

6.4. Понятие определенного интеграла, его свойства, физический и геометрический смысл.

6.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла с помощью свойств интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.

6.6. Методы вычисления определенного интеграла: интегрирование по частям, замены переменной и поднесения под знак дифференциала.

 

Содержание темы

Неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если выполняется условие F ^/ (x) = f (x).

Любая непрерывная функция f (x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных некоторой функции называется неопределенным интегралом от этой функции:

.

Операция нахождения неопределенного интеграла некоторой функции называется интегрированием.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

Таблица интегралов

Пример 6.1. Найти неопределенный интеграл

 

Решение

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если ,

то

где и(х) = .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью следующих подстановок: t = v(x), dt = v ^/(x) dx, где t - новая переменная, dt – её дифференциал.

Пример 6.2. Найти неопределенный интеграл, применив необходимую замену переменной

Решение

 

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где u, v - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается.

Так, при нахождении интегралов вида , , за u следует принять многочлен Р (х), а за v соответственно выражение е^ахdx, sin ax, cos ax dx.

При нахождении интегралов вида , , за u принимают соответственно функции ln ax, arcsin ax, arcos ax, а за v - выражение Р(х)dx.

Пример 6.3. Найти интеграл

Решение

Ответ:

Определенный интеграл

Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] называется конечный предел ее интегральных сумм, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначается символом

,

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования,

f(x) – подынтегральная функция.

Читается: определенный интеграл от а до b.

 

Свойства определенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

 

Связь между определенным и неопределенным интегралом выражает следующая теорема Ньютона – Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Методы вычисления определенных интегралов аналогичны coответствующим методам для неопределенных интегралов, за исключением метода подстановки. Для вычисления интеграла способом подстановки (или замены переменной):

t = v(x), dt = v ^/(x) dx, где t - новая переменная, dt – её дифференциал, пределы интегрирования а и b, соответствующие переменной х, должны быть заменены на числа , соответствующие изменению переменой t.

 

Пример 6.4. Найти определенный интеграл

 

Решение

Ответ: 64.

 

Пример 6.5. Найти определенный интеграл, применив необходимую замену

переменной

Решение

Ответ: .

Пример 6.6. Найти определенный интеграл, применив метод интегрирования по частям

Контрольные вопросы

1. Что называется первообразной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Что такое интегрирование?

4. Назовите свойства неопределенных интегралов.

5. В чем заключается метод замены переменной?

6. В чем заключается метод интегрирования по частям?

7. Что называется определенным интегралом?

8. По какой формуле вычисляют определенный интеграл?

9. Какие вы знаете свойства определенных интегралов?

10. В чем особенность метода замены переменной в определенном интеграле?

11. Запишите формулу интегрирования по частям.