Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

, .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что , следует равенство .

Ниже приведена таблица основных табличных интегралов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем

() и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем () и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями () и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (, ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Раскроем скобки по формуле и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:

.

Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем

.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Положим , тогда откуда . Далее получаем

.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Далее получаем

.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (, - постоянные):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Так, при нахождении можно использовать формулу , где . Тогда .

Интегрирование по частям.

Здесь используют формулу:

Пример11. Найти интеграл: . Решение:

Пример12. Найдите интеграл: . Решение:

Пример 13. Найдите интеграл:

Определенный интеграл.

Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков (i =1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку и составим сумму:

,

где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .

Геометрически (рис. 10) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Рисунок 10

 

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а, следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются точки .

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от a и b от функции по » или, короче, «интеграл от a и b от функции ».

По определению,

.

Число a называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок - отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на отрезке.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и (рис. 10), т.е. . В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

3. Отрезок интегрировании можно разбивать на части:

, где

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница

,

Т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример 15. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

Пример 16. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

.

Пример 17. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно: