Формулы вычисления производных

1) (с)'=0, где с – число

2) (х^р)′=р·х^р-1

3) (х)'=1

4) (е^х)′=е^х

5) (lnx)′= , х>0

6) (sinx)′=cosx

7) (cosx)′=-sinx

8) (а^х)′=а^хlnx

9) (log_ax)′=

Производная сложной функции

Если f (g(х)) - сложная функция, то ее производная равна произ­ведению производных внешней и внутренней функций, т.е. [f(g(x))]'= f '(g) ◦ g'(x).

1) (u^p)'=p∙u^p-1∙u'

2) (e^u)'=e^u∙u'

3) sinu)'=cosu∙u'

4) (cosu)'=-sinu∙u'

5) (lnu)'= ∙u'

Производная произведения и частного

1) Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произве­дение также дифференцируемо в точке x0 причем

(u∙v)'= u'∙v+ u∙ v'

2) Если функции u и n дифференцируемы в точке х0 и

n'(x0) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, причем

3) Если функция и дифференцируема в точке x0 и с = const. то их произведение также дифференцируемо в точке x0 причем (сu)' = с∙u'.

 

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x0.

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке 'B(x;f(x)).

Геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

\

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Найти производную функции:

a) (2х⁵)′=2∙5х^5-1=10х⁴

b) (4х¹²)′=4∙12х^12-1=48х¹¹

c) (3х⁴+2х¹⁵)′=(3х⁴)′+(2х¹⁵)′=3∙4х³+2∙15х¹⁴=12х³+30х¹⁴

d) (3х²+4х-46)′= (3х²)′+(4х)′-(46)′=3∙2х+4∙1-0=6х+4

e) (6cosx –2sinx+5e^x)′= (6cosx)′ –(2sinx)′+(5e^x)′=6∙(-sinx)-2∙cosx +5∙e^x= =6sinx-2cosx+5e^x

f) (23lnx-12x⁴)′= (23lnx)′-(12x⁴)′=23∙ -12∙4х³= -48х³

g) ((3х+15)⁷)'=7∙(3х+15)^7-1∙(3х+15)'=7∙(3х+15)⁶∙(3)=21(3х+15)⁶

h) ((5х-7)∙(4+3x))'= (5х-7)'∙(4+3х)+ (5х-7) ∙ (4+3х)'=

5∙(4+3х)+(5х-7)∙4=20+15х+20х-28=35х-8

i)

j) (sin()'=cos( ∙()'= cos( ∙ = cos(

Пример 2: Вычислить значение производной в точке

а)Найти; ,если

Решение:

f'(x)= ((2х+3)⁵)'=5∙(2х+3)^5-1∙(2х+3)'=5∙(2х+3)⁴∙(2)=10(2х+3)⁴

f'(-2)= 10(2∙(-2)+3)⁴=10(-1)⁴=10

Ответ: f'(-2)=10

b) Найти; ,еслиf(x) =

Решение:

f'(x)= ()'= ∙()'= ∙()'= ∙()=

= = e

Ответ: = e

Пример 3: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке х₀.

f(х) = 5х³-6х²+8х-10, х₀=1

 

Решение:

к= f'(x₀)- угловой коэффициент касательной

f'(x)= (5х³-6х²+8х-10)'=15х²-12х+8

к= f'(x₀)= f'(1)=15∙1²-12∙1+8=11

Ответ: к=11

Пример 4: Написать уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке х₀

у= , х=1

Решение:

 

у= f(x₀)+ f'(x₀)∙(х-х₀) – уравнение касательной

f(x₀)= f(1)=

f'(x)=(

 

f'(x₀)= f'(1)=

у= f(x₀)+ f'(x₀)∙(х-х₀)=3+ (х-1)=3+ х- = х- - уравнение касательной

Ответ: у= х- - уравнение касательной

 

Варианты контрольной работы

Задание 1: Найти производную

 

Вариант 1: , , ,

Вариант 2: , (15е^х-4lnx)', ,

Вариант 3: , ,

Вариант 4: , , ,

Вариант 5: (3x )', , (sinx-5cosx)', ()'

Вариант 6: (6x )', (20 sin x - 7 cos x + 1)',(ln(x )', ()'

Вариант 7: , (sin (3x+2))', ,

Вариант 8: ,

Вариант 9: , ,

Вариант 10: , , ,

Вариант 11: ()' (sin(53x+2))',

Вариант 12: ,

Вариант 13: ()', , (sin (3x+2))', )'

Вариант 14: ()',(5е^х)', ()', ()'.

Вариант 15: ()', , (sin(53x+2))',((2х-3)∙(3х+6))'

Вариант 16:( 8x – )', (6lnx-45)', ; ()'

Вариант 17: (2x- 3)', (65е^х)', ()', ()'.

Вариант 18: ( + 2)', , , ((5х-2)∙(х+6))'

Вариант 19: (x⁴-3x²-7)', (7lnx-х)', , ((6х-3)∙(8х+6))'

Вариант 20: (4x³-6x)', (2sin(2x-4))', ()',((5х-4)⁵)'

Вариант 21:(3х²+5х-6)', (cos(2x-4)', ((5х-4)⁵)', ((7х-3)∙(х+6))'

Вариант 22: ((х-3)(х+4))', (2х⁴ )', ((3х+1)⁶)', ()'

Вариант 23: (3х²-5х+1)', ((х+5)(х-4))', ()',

Вариант 24: ( +х²+12)', (6lnx-45)', , ()'

Вариант 25: (х³-х⁴)', , ,

Вариант 26: , , ,

Вариант 27: ()', , ,

Вариант 28: , , ,

Вариант 29: , , (sin(53x+2))', ()'

Вариант 30: , , ,

Задание 2: Вычислить значение функции

 

Вариант 1: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 2: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 3: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 4: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 5: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 6: Найти значение производной функции у= в точке .

Вариант 7: Найти значение производной функции у= в точке .

Вариант 8: Найти значение производной функции в точке .

Вариант 9: Найти значение производной функции y(x)=5x⁷-8x в точке x₀=1

Вариант 10: Найти значение производной функции y(x)=x²-3x в точке x₀=-78

Вариант 11: Найти значение производной функции у=3х³ в точке х₀=10

Вариант 12: Найти значение производной функции y(x)= 6x⁵-4x³+6x² в точке x₀=1

Вариант 13: Найти значение производной функции y(x)= x⁵-x³+2x²в точке x₀=1

Вариант 14: Найти значение производной функции y(x)= x⁶-x⁴+6x³-3в точке x₀=1

Вариант 15: Найти значение производной функции y(x)= x⁶-x⁴+6x³-3в точке x₀=1

Вариант 16: Найти значение производной функции f (x) = (x² + 1)(x³ – x) в точке х₀=2

Вариант 17: Найдите значение производной функции в точке х₀ = 3.

Вариант 18: Найти значение производной функции в точке x₀=1

Вариант 19: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=2

Вариант 20: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=-2

Вариант 21: Найти значение производной функции в точке x₀=-2

Вариант 22: Найти значение производной функции в точке x₀=-1

Вариант 23: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=1

Вариант 24: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=4

Вариант 25: Найти значение производной функции y = 12 cos x в точке x₀=

Вариант 26: Найти значение производной функции y(x)=x⁶-13x⁴+11 в точке x₀=1

Вариант 27: Найти значение производной функции y(x)= x³+x²+2x; в точке x₀=-3

Вариант 28: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=1

Вариант 29: Найти значение производной функции y(x)= в точке x₀=6

Вариант 30: Найти значение производной функции в точке x₀=2

 

Задание 3

Вариант 1: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке .

Вариант 2: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Вариант 3: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке с абсциссой .

Вариант 4: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке .

Вариант 5: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке .

Вариант 6: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке .

Вариант 7: Найдите значение производной функции в точке .

Вариант 8: Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Вариант 9: Написать уравнение касательной к графику функции в точке х₀

Вариант 10: Напишите уравнения касательной к графику функции , в точке х₀ =5.

Вариант 11: Напишите уравнения касательной к графику функции в точке .

Вариант 12: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Вариант 13: Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y(x)=5x⁴-7 в точке

Вариант 14: Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

Вариант 15: Напишите уравнения касательной к графику функции у= в точке .

Вариант 16: Напишите уравнения касательной к графику функции

у= в точке .

Вариант 17: Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

Вариант 18: Напишите уравнения касательной к графику функции

у= в точке .

Вариант 19: Напишите уравнения касательной к графику функции

в точке .

Вариант 20: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Вариант 21: Напишите уравнения касательной к графику функции в точке .

Вариант 22: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x) = x^{3 –} 6x² в точке .

Вариант 23: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = x⁵+19 x³+ 61 в точке

Вариант 24: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x) = 2x⁴ - 8x³ в точке

Вариант 25: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x) = 4x²+10 в точке х=4

Вариант 26: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x) = в точке х=5

Вариант 27: Напишите уравнения касательной к графику функции в точке х=3

Вариант 28: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x) = в точке х=7

Вариант 29: Напишите уравнения касательной к графику функции в точке х=5

Вариант 30: Напишите уравнения касательной к графику функции f(x)=- в точке х=3

 

 

Содержание темы «Применение производной функции»

Нахождение стационарных точек и промежутков монотоннос­ти.

Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорема Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»

Экстремумы функции и значения в них

Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции

Исследование и построение графиков функций.

Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции

Нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале

 

 

Основные сведения из теории

 

Экстремумы функции

 

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума т.max функции f(х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀)

Другими словами: т.max – точка, выше которой график не поднимается

(в примере: х=4 –т.max)

Определение: Точка х₀ называется точкой минимума т.min функции f(х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀)

Другими словами: т.min – точка, ниже которой график не опускается

(в примере: х=-1 –т.min)

Определение: Точки минимума т.min и точки максимума т.max называются точками экстремума функции.

Теорема Ферма: Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ – точка экстремума функции f(х), то f′(х₀)=0.

Другими словами: Необходимое условие существования точек экстремума: f′(х₀)=0

 

 

Алгоритм нахождения точек экстремума функции ( т.max, т.min ):

1) Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. Найти производную функции f′(х);
2. Найти стационарные точки (точки, в которых производная f(х) равна нулю), т.е. решить уравнение f′(х)=0;
3. Отметить эти точки на числовой оси, указать промежутки;
4. Выявить знаки производной f′(х) на каждом из полученных промежутков (подставить любое число из проверяемого промежутка в производную и узнать знак);
5. Записать ответ.

2) По схеме определить точки максимума и точки минимума.