Применение теории погрешностей к равноточным измерениям

Закономерности (свойства) случайных погрешностей. Их вы­являют многократными измерениями какой-либо одной вели­чины, истинное значение которой известно. Вычисленные по (1.5) случайные погрешности Δ имеют следующие свойства:

1) при оп­ределенных условиях они не превышают по модулю определенного предела Δ_пр;

2) положительные погрешности появляются приблизительно так же часто, как и равные им по модулю отрицательные;

3) малые по модулю погрешности появляются чаще больших.

Из этих свойств вытекает следствие: при неограниченно большом числе измере­ний одной и той же величины случайные погрешности компен­сируются, а их среднее арифметическое стремится к нулю, т. е.

 

n

lim(Δ₁+Δ₂+…+Δ_n)/n= lim(1/ n)∑ Δ _i= 0, i =1,2,…, n (1.6)

n→∞ n→∞ i

Из формулы видно, что среднее арифметическое из бесконечно большого числа измерений стремится к истинномузначению измеряемой величины. Но так как на практике измеряют одну и же величину лишь несколько раз (2; 4; 9), среднее арифметическое из результатов измерений будет не истинным, а близким к нему, вероятнейшим значением измеренной вели­чины. Вычисляют среднее арифметическое по формуле

L=(l₁+ l₂+…+ l _п)/ п=(1/n) ∑ l_i i =1,2,…, n (1.7)

где l₁, l₂,… l _п результаты 1, 2,..., п-го измерений; п - число измерений.

 

Истинная и вероятнейшая погрешности. Поправки к измерениям. В связи с тем, что есть различие между истинным и вероятнейшим значениями измеряемой величины, погрешности также подразделяют на два вида: истинную и вероятнейшую. Разность между измеренным и истинным значениями величины, вычисленную по (1.5) называют истинной погрешностью, а разность между измеренным l и вероятнейшим (средним арифметическим) L значениями величины v = l - L (1.8) - вероятнейшей погрешностью.

Величины Х - l = w₁ и L - l. = w₂ называют поправками к измеренным величинам. Поправка равна погрешности, взятой с обратным знаком.

Рассмотрим одно из важнейших свойств вероятнейших погрешностей. Для этого напишем и просуммируем почленно уравнения, по которым вычисляют каждую из погрешностей ряда

 

v₁ = l₁ – L

v₂ = l₂ – L

…………

v_n = l _n– L

--------------

∑ v = ∑ l - n L

.

Согласно (1.7) nL =∑ l Следовательно, ∑ v = О. Это свойство используют для контроля правильности вычисления арифметического среднего. Если сумма вероятнейших погрешностей равна нулю, вероятнейшее значение измеренной величины вычислено верно.

Абсолютная и относительная погрешност и. Как истинная, так и вероятнейшая погрешности могут быть выражены в абсолютных или относительных величинах. Вычисленные по.(1.5) и (1.8) Δ и v- абсолюТнЫе погрешности. Их выражают в тех же единицах меры, что и измеренные величины. Относительной погрешностью называют отношение соответствующей абсолютной погрешности к полученному значению измеренной величины. Ее обычно выражают в виде дроби с числителем, равным единице. Относительными погрешностями часто характеризуют точность измерения расстояния, площади и объема. Если, например, измеряя длину просеки, в прямом на­правлении получили 1002,9 м и в обратном 1003,6 м, то относи­тельная погрешность (D_пр - D_Обр)/D_ср=0,7 M/l003,2 м= 1/1400. Знаменатель относительной погрешности обычно округляют до двух значащих цифр с нулями.

Критерии оценки точности измерений. Средняя квадратическая погрешность. Если известен ряд случайных погрешностей измерений какой-либо величины, можно оценить точность измерений. Для этого достаточно вычислить среднюю погрешность θ, получив ее как среднее арифметическое из модулей погрешностей:

 

θ=±(| Δ₁|+| Δ₂|+…+| Δ _n|)/ n=±(1/ n)∑| Δ|

 

Однако предпочитают оценивать точность ряда равноточных измерений по средней квадратической погрешности m одного (отдельного) измерения, которую вычисляют по формуле К.Ф.Гаусса:

 

(1.9)

 

Оценка по средней квадратической погрешности более показательна, чем по средней: во-первых, на величину средней квадратической погрешности главное влияние оказывают большие по абсолютной величине случайные погрешности, тогда как при вычислении средней погрешности эти отклонения уравновешиваются малыми; во-вторых, средняя квадратическая погрешность обладает достаточной устойчивостью, поэтому даже при относительно небольшом числе измерений ее величину получают с большой достоверностью

Теоретическими расчетами и опытом установлено, что 67 % случайных погрешностей в данном ряду измерений не превышают по абсолютной величине среднюю квадратическую погрешность т, 95 % - 2т, а 99,7 % - 3т. Поэтому по средней квадратической погрешности судят о допустимости той или иной случайной погрешности. Если случайная погрешность 3т, ее считают предельной, а свыше 3т - грубой. Выполненные с такими погрешностями измерения в обработку не принимают.

По (1.9) оценивают точность измерений, если известно истинное значение измеренной величины; обычно же оно неизвестно. Многократным измерением находят среднее арифметическое значение величины, а затем и вероятнейшие погрешности каждого результата. При этом условии среднюю квадратическую погрешность одного измерения вычисляют по формуле Бесселя:

 

(1.10)

Точность определения самого среднего арифметического оценивают по формуле

 

M=±m/√n (1.11),

 

показывающей, что средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, полученного из равноточных измерений, в √n раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность М, например 70⁰05' ± 1'. Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1'. Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.