На емкость складских помещений

Эта модель предназначена для системы управления запасами, включающей п (>1)видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции и может быть включено в модель как ограничение.

Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для п видов продукции; предположим, что площадь, необходимая для хранения единицы продукции i- гo вида, равна а_i. Если у_i – размер заказа на продукцию i- говида, то ограничения на потребность в складском помещении принимают вид

Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется мгновенно и скидки цен отсутствуют. Предположим далее, что дефицит не допускается. Пусть , К_i и – интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i- гo вида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели. Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид

,

Общее решение этой задачи находится методом множителей Лагранжа. Однако прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действует ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничения на площадь склада для решения

неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточное, и им можно пренебречь.

Ограничение действует, если оно не выполняется для значений . В таком случае нужно найти новое оптимальное значение ,удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства:

Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида

где (< 0) – множитель Лагранжа.

Оптимальные значения и можно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает

Из второго уравнения следует, что значение должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что

Заметим, что зависит от оптимального значения множителя . Кроме того, при значение является решением задачи без ограничения.

Значение можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации , то при последовательной проверке отрицательных значений найденное значение будет одновременно определять значения у ^*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде равенства. Таким образом, в результате определения автоматически получаются значения .

Пример 2.3. Рассмотрим задачу управления запасами для случая трех видов продукции (п = 3),исходные данные которой приведены в таблице.

 

 

Вид продукции
			0,3
			0,1
			0,2

 

Предположим, что общая площадь складского помещения составляет А = 25 фут ². Исходя из формулы

построена следующая таблица:

	11,5	20,0	24,5	+31
–0,05	10,0	14,1	17,3	+16,4
–0,10	9,0	11,5	14,9	+10,4
–0,15	8,2	10,0	13,4	+6,6
–0,20	7,6	8,9	12,2	+3,7
–0,25	7,1	8,2	11,3	+1,6
–0,30	6,7	7,6	10,6	–0,1

 

При А = 25 фут² ограничение на складскую площадь удовлетворяется в виде равенства при некотором значении , лежащем между –0,25 и –0,3. Это значение равно ^*, и его можно оценить с помощью линейной интерполяции. Соответствующие значения y_i определяют значения . Поскольку из таблицы видно, что значение ^* очень близко к –0,3, то оптимальные значения у приближенно равны

= 6,7, = 7и у = 10,6.

Если , то значения y_i без учета ограничения, соответствующие = 0,определяют у . В этом случае ограничение избыточно.

ТЕМА 3. Транспортная задача

Постановка задачи. Пусть имеется m пунктов производства с объемами производства a_i, i=1,…,m, и n пунктов потребления с объемами потребления b_j, j=1,…,n. Обозначим c_ij – стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт j. Задача заключается в нахождении объемов перевозок x_ij из пунктов i в пункты j таких, что объемы перевозок из пунктов производства не превосходят объемов производства, в пунктах потребления полностью удовлетворяется спрос и общая стоимость перевозок минимальна.

(1)

(2)

(3)

(4)

Сбалансированная транспортная модель. Если общий объем производства совпадает с общим объемом потребления

(5)

тогда ограничения (2), (3) принимают вид

(6)

(7)

Теорема. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения.

В случае превышения запасов над потребностью (потребностей над запасами) вводится фиктивный (n+ 1) - й пункт назначения с потребностью ((m+ 1) - й пункт производства ) и нулевыми тарифами перевозок.