Нечеткие числа: нечеткие числа (L-R) типа.

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(- x)=L(x), R(- x)=R(x); б) L(0)=R(0).

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные).

Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. _A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

A(x) =

где а - мода; α>0, β>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости (также угол наклона).

 

 

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, α, β).

Толерантное н/число задается четверкой параметров А = (а,b,α,β).

Н/м, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются как правило немодальными и нормальными. А одним из возможных методов аппроксимации унимодального н/м является апроксимации с помощью функции (L-R) типа.

 

Нечеткие отношения.

Обычным отношением R на множестве Х называется некоторое подмножество декартового произведения X*Y. Отсюда следует, что задать отношение R на множестве X, это задать все пары (х,у), которые связаны отношением R: x R y, (x,y) R

Если множество Х, на котором задано отношение R – конечно, то отношение может быть задано в двух формах:

1. в виде матрицы

||rij|| i=1..n, j=1..n

2. в виде графа

Отображение одного н/м в другое – нечеткая импликация (нечеткое отношение).

Операция нечеткой импликации может задаваться как припомощи соответствующей функции принадлежности, так и при помощи матрицы отношений, которая отображает одно н/м в другое.

1. В виде таблицы:

x=[x1,x2,x3] y=[y1,y2]

	y1	y2
x1	0.1	0.2
x2	0.3	0.4
x3	0.1

2. В виде функциональной зависимости:

Если х и у множеству всех действит чисел, зададим x>>y

3. В виде графической формы:

Четкое отношение (≥, x≥y)

Нечеткое отношение (>>,x>>y)

Нечетким отношением R называется нечеткое множество, определенное на декартовом произведении XхY, которому

соответствует функция принадлежности . отражает силу зависимости между и .

 

Операции над нечеткими отношениями.

R1 и R2 – некоторые матрицы.

1. Включение:

2. Дополнение:

3. Объединение:

4. Пересечение:

5. Дизъюнктивная сумма:

Алгебраические операции:

1. Произведение двух отношений:

2. Сумма:

3. Получение обычного отношения ближайшего к четкому:

4. Композиция:

Свойства максимнной композиции:

- ассоциативна.

- дистрибутивна относительно объединения, недистрибутивна относительно пересечения.

Оп композиция можно определить различными способами:

- максимальная операция

- мини-максная операция

- максимультипликативная композиция

5. Обычное подмножество α-уровня:

6. Проекция нечеткого отношения:

- 1ая проекция:

- 2ая проекция:

 

 

- глобальная проекция:

Если h_R =1, то н/о – нормальное, если Б1 – субнормальное.

	y1	y2
x1	0.3	0.6	0.6
x2		0.2
x3		0.4	0.4
	0.3	0.6