Лекция 7. Определенный интеграл

Лекция 7. Определенный интеграл

Пусть – непрерывная на функция и и – ее первообразная (любая)*. Тогда разность значений первообразной в точках b и a:

 

 

называется определенным интегралом функции на отрезке . Определенный интеграл обозначается так:

 

.

 

В соответствии с определением

 

. (1)

 

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Применяют также обозначается:

 

. (2)

Примеры:

 

1) ;

 

2) ;

3) .

Свойства определенных интегралов

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

 

. (3)

 

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов:

 

. (4)

Пример. Вычислить .

На основании свойств 1 и 2 получаем

3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования

. (5)

Это следует из того, что

, а .

4. Теорема о среднем. Между точками a и b имеется такая точка c, что

. (6)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница . Применим к первообразной формулу Лагранжа: . Но , следовательно . Итак,

.

5. Если и , то

 

. (7)

 

Действительно, в этом случае и , и из формулы (6) получаем

 

.

6. Если и , то

 

. (8)

 

Действительно,

 

.

 

По условию и по свойству 5:

 

.

 

Следовательно,

 

.

7. Если , то

. (9)

Это следует из того, что .

Приложения определенного интеграла

Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов, механической работы.

Вычисление площадей

Пусть – непрерывная на функция, . Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ox, с боков – прямыми , .

 

Рис. 1

Эту фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой фигуры вычисляется по формуле

. (1)

Приведем обоснование этой формулы. Для того чтобы определить площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 2), изучим поведение площади переменной фигуры ABMN, заключенной между начальной ординатой и ординатой, соответствующей произвольно выбранному на значению x. Площадь этой криволинейной трапеции ABMN есть функция, зависящая от x; обозначим ее через .

 

Рис. 2

Вычислим производную этой функции . Для этого придадим x приращение D x. Тогда площадь получит приращение D S, равное площади фигуры . Если приращение D x мало, то D S приблизительно равно площади прямоугольника , равной . Рассмотрим отношение . Оно приблизительно равно . Если , то приближенное равенство перейдет в точное

 

.

Итак, переменная площадь есть первообразная для . Следовательно, если – какая-нибудь первообразная для , то

 

.

 

Положим . Очевидно, . Следовательно,

 

.

 

Поэтому

 

.

 

При получаем

 

.

 

Но это означает, что

 

.

 

Пример 1. Найти площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной параболой , прямыми , и осью Ox.

Решение.

 

.

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

 

Решение. Очевидно, эти линии пересекаются в точках с абсциссами и . Искомая площадь есть разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно линиями и :

.

 

В примере 2 рассмотрен частный случай вычисления площади фигуры, ограниченной одной кривой сверху, другой кривой – снизу.

Вообще, если фигура ограничена сверху кривой , снизу – кривой , а с боков – соответственно прямыми , , то ее площадь выражается формулой:

 

. (2)

Лекция 9. Ряды

Числовые ряды

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , ,..., ,..., соединенных знаком сложения:

. (1)

Числа , ,..., ,..., называются членами ряда, а n -й член – общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член . Например, ряд с общим членом имеет вид

,

или

.

Иначе его можно записать в виде .

Рассмотрим суммы первых членов ряда (1):

............

............

Эти суммы называются частичными суммами ряда (1). Сумма называется n -й частичной суммой ряда (1).

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

 

. (2)

Этот предел S называется суммой ряда.

 

Если предел (2) не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд

. (3)

Это – геометрическая прогрессия (точнее говоря, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии).

Из школьного курса известно, что сумма n членов геометрической прогрессии равна

или

.

Это и есть n -я частичная сумма ряда (3).

Пусть . Тогда , следовательно,

.

Итак, в случае ряд (3) сходится и его сумма

Нетрудно убедиться в том, что при ряд (3) расходится.

Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд (полученный почленным умножением данного ряда на число k) также сходится и имеет сумму kS.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд также сходится и его сумма равна .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

Если в ряде (1) отбросить первые n членов, то получится ряд

, (4)

называемый n -м остатком ряда.

Очевидно, если ряд (1) сходится, то и его остаток (4) также сходится. Если сумму остатка (4) обозначить через , т.е.

,

то сумму ряда (1) можно представить в виде

. (5)

Отсюда получаем свойство 4.

4. Для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. .

Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряд

,

где при всех n.

Такой ряд называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине:

,

и предел общего члена этого ряда при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: .

Пример. Исследовать ряд

Решение. Члены ряда убывают по абсолютной величине: и предел общего члена равен нулю: . Следовательно, ряд сходится.

Рассмотренные нами знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов. Ряд

(*)

называется знакопеременным, если любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.

Различают абсолютную и условную сходимость знакопеременного ряда.

Ряд (*) называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд

, (**)

 

сходится.

Можно доказать, что абсолютно сходящийся ряд сходится в обычном смысле.

Ряд (*) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд (**), расходится.

Очевидно, ряд, рассмотренный в последнем примере, сходится условно.

Лекция 7. Определенный интеграл

Пусть – непрерывная на функция и и – ее первообразная (любая)*. Тогда разность значений первообразной в точках b и a:

 

 

называется определенным интегралом функции на отрезке . Определенный интеграл обозначается так:

 

.

 

В соответствии с определением

 

. (1)

 

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Применяют также обозначается:

 

. (2)

Примеры:

 

1) ;

 

2) ;

3) .