Схема исследования функции на экстремум

1. Найти производную .

2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых или производная не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремальные значения функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

1) ;

2) , , ;

3) применяя метод интервалов, находим, что на и на , а неравенство выполняется на .

Следовательно, в точке имеется максимум, а в точке – минимум;

4) находим , .

Исследование функции с помощью
второй производной

Будем рассматривать дважды дифференцируемую функцию, т.е. функцию , которая имеет производные и .

Второе достаточное условие экстремума. Если в точке первая производная равна нулю: , а вторая положительна: , то есть точка минимума функции ; если же , , то – точка максимума.

Доказательство. Пусть , . Тогда, так как , первая производная возрастает в окрестности точки . Значит, слева от она отрицательна: , а справа – положительна: . Итак, при переходе через производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке минимум. Аналогично рассматривается случай , .

Пример. . .

Имеем:

,

, ; .

Следовательно, в точке имеется минимум.

Функция и ее график характеризуются также направлением выпуклости и наличием асимптот. Говорят, что на данном интервале выпуклость графика направлена вверх (вниз), если все его точки находятся ниже (соответственно выше) любой касательной на этом интервале.

На рис. 2 показан график функции, у которого на интервале выпуклость направлена вверх, а на интервале – вниз.

Точка, в которой меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Рис. 2

Можно доказать, что если на данном интервале , то выпуклость графика направлена вниз, если же , то выпуклость направлена вверх.

Если – точка перегиба, то .

Асимптоты

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки М графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой, если или . Вертикальные асимптоты сопутствуют обычно точкам разрыва второго рода.

Из школьного курса известно, в частности, что ось Oy (т.е. прямая ) есть вертикальная асимптота графика функции .

Прямая есть наклонная асимптота графика функции при , если

,

где при .

Коэффициенты k и b в уравнении наклонной асимптоты находят по формулам:

,

.

Пример. Найти наклонную асимптоту графика функции .

Решение.

1) ;

2)

.

Уравнение асимптоты: .

Заметим, что наличие у функции наклонной асимптоты означает, что при больших значениях аргумента функция мало отличается от линейной функции.

Общая схема исследования функций
и построения их графиков

Для исследования функции и построения графика следует найти:

1) область определения функции;

2) точки разрыва функции;

3) интервалы возрастания и убывания функции;

4) максимумы и минимумы;

5) направление выпуклости графика функции, точки перегиба;

6) асимптоты.

Кроме того, учитываются четность (или нечетность) функции, периодичность, точки пересечения графика с осями координат.

На основании проведенного исследования строится график функции, при этом полезно намечать элементы графика параллельно с исследованием.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения – вся числовая прямая за исключением точки , т.е. множество

.

2. – точка разрыва 2-го рода, так как

, .

3. Вычислим производную:

.

Определим области возрастания и убывания функции:

при имеем – функция возрастает;

при и имеем – функция убывает;

при имеем – функция возрастает.

4. Из равенства находим критические точки , . В точке производная меняет знак с плюса на минус при ; при ). Следовательно, в точке имеется максимум:

.

В точке производная меняет знак с минуса на плюс ( при , при ). Следовательно, в точке имеется максимум:

.

5. Вычислим вторую производную:

Определим направление выпуклости:

при имеем – выпуклость направлена вверх,

при имеем – выпуклость направлена вниз.

Точек перегиба нет.

Определим асимптоты графика.

Очевидно, – вертикальная асимптота.

Определим наклонную асимптоту.

,

.

Итак, – наклонная асимптота.

График исследуемой функции изображен на рис. 3.

Рис. 3

Пример 2. В теории вероятностей и в статистике весьма важную роль играет функция

– дифференциальная функция нормального распределения. Исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления по приведенной выше схеме и построим ее график. Заметим, что этот график называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Решение. 1. Область определения функции – вся ось Ox.

2. Функция непрерывна на всей оси Ox.

3. Вычислим первую производную:

.

Легко видеть, что при , при . Следовательно, на интервале функция возрастает, а на интервале – убывает.

4. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку . В точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в ней имеется максимум:

.

5. Вычисляем вторую производную:

Легко видеть, что вторая производная равна нулю, когда

, т.е. при и .

Имеем

выпуклость направлена вниз

выпуклость направлена вверх

выпуклость направлена вниз.

При переходе через точки , вторая производная меняет знак. Значение функции в обеих этих точках одно и то же:

.

Таким образом, точками перегиба графика являются точки

и .

6. Вертикальных асимптот, очевидно, нет. Предел функции при равен нулю: .

Следовательно, ось Ox есть горизонтальная асимптота графика (очевидно, , и наклонных асимптот нет).

При построении графика учтем дополнительно, что при всех значениях аргумента , т.е. кривая расположена выше оси Ox, а также тот факт, что кривая симметрична относительно прямой (так как разность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате).

Возьмем для определенности , .

Рис. 4