Принцип наименьших квадратов.

На основании определенного массива экспериментальных данных построим модель:

Y= Ф (Х)

 

y=b₀+b₁x₁

Установим насколько точно данная модель описывает экспериментальные результаты.

В качестве критерия, который характеризует достоверность или адекватность модели можно выбрать такой, который обеспечивал бы min-е значение некоторой величины.

 

 

y – это функция, которая описывает состояние модели

(y-y_r) – определяет отклонение модели от реальных результатов.

В качестве меры такого отклонения выбирают min- четную функцию, то есть (y-y_r)². Для дискретных величин параметр адекватности будет представлен в виде:

 

Таким образом из принципа наименьших квадратов следует метод наименьших квадратов.

 

Обобщенная дисперсия.

Допустим имеется несколько случайных величин х, которые распределены на множестве Х с некоторой дисперсией Д(х).

Величина дисперсии, …. оценка дисперсии

 

Если имеются два объекта, которые характеризуются соответствующими дисперсиями Д₁(х) и Д₂(х) и между этими величинами (объектами) наблюдается взаимозависимость, тогда вводится понятие о коэффициентах корреляции r(x₁,x₂), причем

|r(x₁,x₂)| <1

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости одной величины от другой. Для любой функции коэффициент корреляции будет представлять отношение линейной части функции ко всему его значению

 

 

Ковариации между случайными величинами х₁ и х₂ называют следующие произведение:

 

Причем

 

Таким образом, случайные величины характеризуются следующими числами

- дисперсией

 

- ковариацией k= (x₁,x₂)

Для выборочных оценок можем записать

-для дисперсии

 

-для корреляции

-ковариация

 

Корреляционная матрица

Это такая матрица, на главной диагонали которой находится соответствующие дисперсии, а остальные коэффициенты представляют ковариации соответствующих величин.

Определитель такой матрицы представляет собой обобщенную дисперсию.

Обобщенная дисперсия является характеристикой точности математической модели, поэтому планы, которые min-т обобщенную дисперсию называют деоптимальными планами.

Метод наименьших квадратов в большинстве случаев обеспечивает оптимальность модели.

 

Построение оптимальных планов

П1 Нормирование факторов

Все планы составляют для нормированных значений факторов, т.е. максимальному значению уровня, фактору присваивают +1, минимальному -1, центр плана при этом равен нулю.

Вычисление оценок коэффициентов и проверка адекватности модели производится также в нормированных величинах, но интерпретация полученных результатов модели проводится только в реальных значениях факторов.

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂….

y=a₀+a₁g_(c)+a₂g_(Ni)….

Обозначим через Xн - нормированное значение фактора,

Xр – реальное значение фактора.

Тогда для перехода к нормированным значениям справедлива формула

Xн=

- верхний и нижний уровни факторов.

Xр=1/2()+Xн()

 

Структура оптимальных планов.

Она определяется теоремой Кифера, которая гласит, что для n-наблюдений, когда факторы нормированы и варьируются от +1 до -1, тогда наблюдение необходимо располагать равномерно в точках плана, которые являются нулями полинома Лежандра, т.е. решением уравнения

 

 

(1-x²)L'_m =0

L'_m – полином Лежандра,

m – степень полинома Лежандра.

Таблица оптимальных точек по теореме Кифера

m	Точки плана на отрезке +1…-1 ()
	В каждой точке плана проводится () опытов
	1;
	1; 0
	1; 0,4272;
	1; 0,6547; 0;
	1; 0,7651; 0,2852;
	1; 0,8302; 0,4689; 0;

 

1. Отсюда следует, что число точек плана находится как (m+1)

2. Оставшиеся после равномерного распределения опытов, по точкам плана необходимо размещать как можно ближе к границам изменения факторов.

 

 

Глава 5 Факторное планирование эксперимента.

5.1 Полный двухуровневый факторный план вида 2^к .(ПФЭ2^к)

Пусть даны два фактора x1, x2, предполагаем наличие линейной модели вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂; Оптимальный факторный план должен иметь четыре точки плана, т.е. N=2^k-2=4, тогда ПФП будет иметь вид.

 

n	x0	x1	x2	x12	y
		-1	-1	+1	y1
		+1	-1	-1	y2
		-1	+1	-1	y3
		+1	+1	+1	y4

n - номер точки плана

x₀ - нормальный фактор

y₁…y₄ – результаты.

Подсчитаем сумму элементов в каждом столбце. Такие планы кроме условия оптимальности являются ортогональными, т. е. позволяют рассчитывать оценки для коэффициентов моделей и обеспечивают независимость этих оценок, тогда коэффициенты модели полного факторного плана рассчитывают по формуле.

bj=

₀= (y₁+y₂+y₃+y₄)

~ оценка

₁= (-y₁+y₂-y₃+y₄)

₂= (-y₁-y₂+y₃+y₄)

₁₂= (y₁-y₂-y₃+y₄)

Таким образом находим оценки коэффициентов в уравнении регрессии после чего в любой точке факторного пространства можно найти значения параметра (величины) y в области определения факторов

= ₀ + ₁ x₁+ ₂ x₂ + ₁₂ x₁x₂

Для трехфакторного эксперимента, когда даны три фактора x₁x₂x₃, построение плана вида ПФЭ2^к заключается составлением таблицы позволяющих найти оценки для моделей вида

y=b₀+d₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃

общее число точек плана N=2^к=3=8

Построим план эксперимента

n	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
		-1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	y1
		+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	y2
		-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	y3
		+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	y4
		-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y5
		+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	y6
		-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	y7
		+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

Оценки находятся по формуле

_j=

Таким образом мы можем определить оценку любого коэффициента модели по соответствующему столбцу плана, такой эксперимент, в котором реализуется все N=2^к опытов называются полным факторным экспериментом, отметим в ряде случаев нет необходимости построения модели, которая учитывает все эффекты взаимодействий факторов, а можно ограничится только оценками линейных эффектов. Такая задача решается путем построения дробных факторных планов.